Propriedades do valor absoluto

Todos aprendemos na escola que um número só pode ser positivo ou negativo, com os positivos não precisando de um sinal de mais porque é um padrão adotado no mundo. Sempre assumimos que um número sem o sinal é positivo. Agora os livros e os professores que eu tive na escola sempre diziam que o módulo "apaga" o sinal. Eu sempre achei esta operação sem sentido porque se um número não tem sinal, então ele não é nem positivo e nem negativo? O que ele é?

Eu me lembro de ter tido muitas dificuldades com sinais e regras. Há vários professores que gravam vídeos ou criam páginas discutindo exatamente este problema de regra de sinais. Eu não posso falar pelos outros, mas é possível que muita gente cometa este erro [math]\displaystyle{ |a - b| = a + b }[/math]. Ou seja, se somos ensinados que o módulo apaga o final, então o sinal de menos some como acabamos de escrever? O modo com que os professores ensinam a "apagar" o sinal de menos dos números pode muito bem levar ao erro anterior. Pode parecer absurdo e para falar a verdade eu nunca vi o erro a seguir de fato, mas com certeza algum professor já deve ter visto isto [math]\displaystyle{ |2 \pm 2| = 22 }[/math]. Eu sei que não faz sentido, mas alguém pode acabar interpretando o valor absoluto como literalmente apagar o sinal da existência.

O modo como eu fui ensinado sobre o valor absoluto de um número causa mais danos do que ajuda a entender. Muitas vezes eu me perguntava se existe uma operação além das quatro básicas da aritmética. Afinal, apagar o sinal é o que? O valor absoluto, por definição, é uma função mas só vamos aprender sobre funções muito tempo depois do valor absoluto.

[math]\displaystyle{ |x| = \begin{cases} x,& \ \text{se} \ x \gt 0 \\ 0,& \ \text{se} \ x = 0 \\ -x,& \ \text{se} \ x \lt 0 \end{cases} }[/math]

Você pode ter perguntando sobre o caso do meio. O zero pode ser colocado no primeiro ou no segundo, tanto faz. Ou pode ficar separado num caso à parte. Não muda a definição. Um número nunca pode ser maior ou menor do que ele mesmo, só pode ser igual a ele mesmo.

As propriedades

• [math]\displaystyle{ |x| \geq 0 }[/math]. Distância negativa não existe. Ou é positiva ou nula.

• [math]\displaystyle{ |a - b| = |b - a| }[/math]. A distância entre dois pontos (na reta) não depende da ordem dos mesmos. Temos três casos a considerar: ambos são positivos, ambos são negativos ou um é negativo e o outro é positivo. Num caso mais geral, a diferença entre dois números só pode ser positiva, negativa o nula.
  
  1° caso: [math]\displaystyle{ a - b \gt 0 \implies b - a \lt 0 }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = a - b }[/math] e [math]\displaystyle{ |b - a| = -(b - a) = -b + a = a - b }[/math]. (se você não acompanhou, é a definição do próprio valor absoluto).
  
  2° caso:[math]\displaystyle{ a - b \lt 0 \implies a - b \gt 0 }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = a - b }[/math] e [math]\displaystyle{ |a - b| = -(a - b) = -a + b = b - a }[/math].
  
  3° caso: [math]\displaystyle{ a - b = 0 \implies a = -b \ \text{ou} \ -a = b }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = |b - a| = 0 }[/math].

• [math]\displaystyle{ |x| = 0 \iff x = 0 }[/math]. +0 ou -0 não tem sentido. Não faz sentido pensar no zero como positivo ou negativo.

• [math]\displaystyle{ |x| = |-x| }[/math]. Propriedade reflexiva. Podemos reescrever assim [math]\displaystyle{ x = -(-x) = (-1)(-x) }[/math]. Eu me lembro de ter confundido esta propriedade com [math]\displaystyle{ -1 = 1 }[/math] diversas vezes, mais especificamente no que diz respeito a gráficos de funções. Muita gente se confunde e o problema não é achar que um número é igual ao seu par negativo, mas pensar que ambos se localizam no mesmo ponto no plano cartesiano.

• [math]\displaystyle{ |ab| = |a||b| }[/math]. Intuitivamente é fácil notar que ambos são iguais porque ambos os lados são sempre positivos. Prova mais formal:
  
  Vamos começar dizendo que [math]\displaystyle{ |x|^2 = |x^2| = x^2,\ \forall x \in \mathbb{R}. }[/math] Teste dois números, um positivo e outro negativo para verificar. Ou use [math]\displaystyle{ x^2 = a }[/math] para ter uma perspectiva diferente.
  
  [math]\displaystyle{ x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R} \implies |x^2| = x^2 }[/math]. Se você não acompanhou, tente a substituição mencionada anteriormente.
  
  Se [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |x| = x }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |x|^2 = x^2 }[/math].
  Se [math]\displaystyle{ x \lt 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |x| = -x }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |x|^2 = (-x)^2 = x^2 }[/math]. Se você não acompanhou, lembre-se que o valor absoluto inverte o sinal de um número negativo. Algumas pessoas podem pensar que este passo é o mesmo que trocar | | por ( ).
  Se [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |0| = 0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |0|^2 = 0^2 = 0 }[/math].
  
  [math]\displaystyle{ |ab|^2 = (ab)^2 = a^2b^2 = |a|^2|b|^2 \Rightarrow |ab| = |a||b| }[/math]. Isto prova a propriedade.

• [math]\displaystyle{ \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} }[/math]. We assume [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math]. With a negative exponent this is the same as the property above. Let's do it:
  
  [math]\displaystyle{ \left|\frac{a}{b}\right| = |ab^{-1}| = |a||b^{-1}| }[/math]
  
  From the previous proof: [math]\displaystyle{ |b||b^{-1}| = |bb^{-1}| = |1| = 1 }[/math], we have [math]\displaystyle{ |b^{-1}| = |b|^{-1} }[/math]
  
  Conclusion: [math]\displaystyle{ |a||b^{-1}| = |a|(|b|^{-1}) = \frac{|a|}{|b|} }[/math].

• [math]\displaystyle{ |a - b|^2 = (a - b)^2 }[/math]. This property says that the area of a square can never be negative. Because the distance between two points cannot be negative. If we calculate the difference between two numbers, it can be either positive or negative, assuming they are different numbers. But since we are calculating the area of a square, it won't be negative.
  
  [math]\displaystyle{ |a - b|^2 = |a - b||a -b| = |(a - b)^2| = (a - b)^2 }[/math].

• [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| }[/math]. Any (real) number, negative or not, squared, is positive because it means the area of a square. This happens to coincide with the definition of the absolute value. Both areas and lengths are always positive.
  
  We know that [math]\displaystyle{ x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R} }[/math] and from the previous properties [math]\displaystyle{ |x|^2 = x^2 }[/math] it follows that [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| }[/math]. (to take the square root on both sides is the same as to calculate the 1/2 power on both sides).

• [math]\displaystyle{ \text{If} \ a \gt 0, |x| \lt a \iff -a \lt x \lt a }[/math]. There are two graphical ways to visualise this. One is a number line. Suppose [math]\displaystyle{ a = 10 }[/math]. Then [math]\displaystyle{ x }[/math] is bounded between two extremes, 10 and -10. For example, we can think on 9.999 (don't write .999...!!). Any number in between the two extremes satisfy that property.
  
  
  
  
  The other way is to view a circle with the center at [math]\displaystyle{ x }[/math] and radius equal to [math]\displaystyle{ |a - x| }[/math]. The property states that [math]\displaystyle{ x }[/math] is located anywhere along the circle's diameter, except for the two extremes, [math]\displaystyle{ -a }[/math] and [math]\displaystyle{ a }[/math]. How to prove that that property is true? We use the definition of the absolute value:
  
  If [math]\displaystyle{ x = 0 \implies |a| \gt 0 }[/math]. Else [math]\displaystyle{ x = a = 0 }[/math], but we began assuming that [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math].
  
  If [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math] there comes the question [math]\displaystyle{ x \gt a }[/math] or [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math]? Let's ignore the first case because we want to prove that the [math]\displaystyle{ x }[/math] is somewhere along the circle's diameter, not outside the circle:
  
  [math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt a \implies 0 \lt |x| \lt a \iff -a \lt x \lt a }[/math]. Then we can conclude that [math]\displaystyle{ -a \lt 0 \lt x \iff |x| \lt a }[/math]. (if you didn't follow, remember that [math]\displaystyle{ a }[/math] is positive and therefore, [math]\displaystyle{ x }[/math] is also positive. Choose two positive numbers and see for yourself on the figure above)
  
  Now there is the unsolved [math]\displaystyle{ x \lt 0 }[/math] case (we first considered the positive, now comes the negative):
  
  [math]\displaystyle{ |x| \lt a \implies -x \lt a }[/math] and [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math]. But we can invert the sign as such [math]\displaystyle{ x \gt -a }[/math]. Both the previous cases are one [math]\displaystyle{ -a \lt x \lt a }[/math]. We proved that [math]\displaystyle{ |x| \lt a \implies -a \lt x \lt a }[/math].
  
  Now the reversed implication:
  
  If [math]\displaystyle{ x \gt 0, \ |x| = x }[/math]. Then [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math].
  
  If [math]\displaystyle{ x \lt 0, \ |x| = -x }[/math]. Then [math]\displaystyle{ -x \lt a }[/math] is equal to [math]\displaystyle{ x \gt -a }[/math] and [math]\displaystyle{ |x| \lt a }[/math].
  
  Conclusion: [math]\displaystyle{ -a \lt x \lt a \implies |x| \lt a }[/math].

• [math]\displaystyle{ |a + b| \le |a| + |b| }[/math]. Triangle inequality. In Euclidean geometry, the sum of the lengths of two sides of a triangle can never be less than the length of the third side. Or, from another point of view, if we divide a line in two parts, the sum of the parts cannot be greater than the original line. There is more than one way to prove it, I'll show one:
  
  [math]\displaystyle{ -|a| \le a \le |a| }[/math]
  [math]\displaystyle{ -|b| \le b \le |b| }[/math] (a number is bounded between itself and its opposite)
  
  Add up both: [math]\displaystyle{ -|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b| }[/math]
  
  The previous property states that [math]\displaystyle{ |a| \le b \iff -b \le a \le b }[/math]
  
  Conclusion: [math]\displaystyle{ |a + b| \le |a| + |b| }[/math]