Propriedades do valor absoluto

Todos aprendemos na escola que um número só pode ser positivo ou negativo, com os positivos não precisando de um sinal de mais porque é um padrão adotado no mundo. Sempre assumimos que um número sem o sinal é positivo. Agora os livros e os professores que eu tive na escola sempre diziam que o módulo "apaga" o sinal. Eu sempre achei esta operação sem sentido porque se um número não tem sinal, então ele não é nem positivo e nem negativo? O que ele é?

Eu me lembro de ter tido muitas dificuldades com sinais e regras. Há vários professores que gravam vídeos ou criam páginas discutindo exatamente este problema de regra de sinais. Eu não posso falar pelos outros, mas é possível que muita gente cometa este erro [math]\displaystyle{ |a - b| = a + b }[/math]. Ou seja, se somos ensinados que o módulo apaga o final, então o sinal de menos some como acabamos de escrever? O modo com que os professores ensinam a "apagar" o sinal de menos dos números pode muito bem levar ao erro anterior. Pode parecer absurdo e para falar a verdade eu nunca vi o erro a seguir de fato, mas com certeza algum professor já deve ter visto isto [math]\displaystyle{ |2 \pm 2| = 22 }[/math]. Eu sei que não faz sentido, mas alguém pode acabar interpretando o valor absoluto como literalmente apagar o sinal da existência.

O modo como eu fui ensinado sobre o valor absoluto de um número causa mais danos do que ajuda a entender. Muitas vezes eu me perguntava se existe uma operação além das quatro básicas da aritmética. Afinal, apagar o sinal é o que? O valor absoluto, por definição, é uma função mas só vamos aprender sobre funções muito tempo depois do valor absoluto.

[math]\displaystyle{ |x| = \begin{cases} x,& \ \text{se} \ x \gt 0 \\ 0,& \ \text{se} \ x = 0 \\ -x,& \ \text{se} \ x \lt 0 \end{cases} }[/math]

Você pode ter perguntando sobre o caso do meio. O zero pode ser colocado no primeiro ou no segundo, tanto faz. Ou pode ficar separado num caso à parte. Não muda a definição. Um número nunca pode ser maior ou menor do que ele mesmo, só pode ser igual a ele mesmo.

As propriedades

• [math]\displaystyle{ |x| \geq 0 }[/math]. Distância negativa não existe. Ou é positiva ou nula.

• [math]\displaystyle{ |a - b| = |b - a| }[/math]. A distância entre dois pontos (na reta) não depende da ordem dos mesmos. Temos três casos a considerar: ambos são positivos, ambos são negativos ou um é negativo e o outro é positivo. Num caso mais geral, a diferença entre dois números só pode ser positiva, negativa ou nula.
  
  1° caso: [math]\displaystyle{ a - b \gt 0 \implies b - a \lt 0 }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = a - b }[/math] e [math]\displaystyle{ |b - a| = -(b - a) = -b + a = a - b }[/math]. (se você não acompanhou, é a definição do próprio valor absoluto).
  
  2° caso: [math]\displaystyle{ a - b \lt 0 \implies a - b \gt 0 }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = a - b }[/math] e [math]\displaystyle{ |a - b| = -(a - b) = -a + b = b - a }[/math].
  
  3° caso: [math]\displaystyle{ a - b = 0 \implies a = -b \ \text{ou} \ -a = b }[/math]. Então, [math]\displaystyle{ |a - b| = |b - a| = 0 }[/math].

• [math]\displaystyle{ |x| = 0 \iff x = 0 }[/math]. +0 ou -0 não tem sentido. Não faz sentido pensar no zero como positivo ou negativo.

• [math]\displaystyle{ |x| = |-x| }[/math]. Propriedade reflexiva. Podemos reescrever assim [math]\displaystyle{ x = -(-x) = (-1)(-x) }[/math]. Eu me lembro de ter confundido esta propriedade com [math]\displaystyle{ -1 = 1 }[/math] diversas vezes, mais especificamente no que diz respeito a gráficos de funções. Muita gente se confunde e o problema não é achar que um número é igual ao seu par negativo, mas pensar que ambos se localizam no mesmo ponto no plano cartesiano.

• [math]\displaystyle{ |ab| = |a||b| }[/math]. Intuitivamente é fácil notar que ambos são iguais porque ambos os lados são sempre positivos. Prova mais formal:
  
  Vamos começar dizendo que [math]\displaystyle{ |x|^2 = |x^2| = x^2,\ \forall x \in \mathbb{R}. }[/math] Teste dois números, um positivo e outro negativo para verificar. Ou use [math]\displaystyle{ x^2 = a }[/math] para ter uma perspectiva diferente.
  
  [math]\displaystyle{ x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R} \implies |x^2| = x^2 }[/math]. Se você não acompanhou, tente a substituição mencionada anteriormente.
  
  Se [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |x| = x }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |x|^2 = x^2 }[/math].
  Se [math]\displaystyle{ x \lt 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |x| = -x }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |x|^2 = (-x)^2 = x^2 }[/math]. Se você não acompanhou, lembre-se que o valor absoluto inverte o sinal de um número negativo. Algumas pessoas podem pensar que este passo é o mesmo que trocar | | por ( ).
  Se [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ |0| = 0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \therefore |0|^2 = 0^2 = 0 }[/math].
  
  [math]\displaystyle{ |ab|^2 = (ab)^2 = a^2b^2 = |a|^2|b|^2 \Rightarrow |ab| = |a||b| }[/math]. Isto prova a propriedade.

• [math]\displaystyle{ \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} }[/math]. Considere [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math]. Usando um exponente negativo caímos na propriedade anterior. Assim:
  
  [math]\displaystyle{ \left|\frac{a}{b}\right| = |ab^{-1}| = |a||b^{-1}| }[/math]
  
  Da propriedade anterior: [math]\displaystyle{ |b||b^{-1}| = |bb^{-1}| = |1| = 1 }[/math], we have [math]\displaystyle{ |b^{-1}| = |b|^{-1} }[/math]
  
  Conclusão: [math]\displaystyle{ |a||b^{-1}| = |a|(|b|^{-1}) = \frac{|a|}{|b|} }[/math].

• [math]\displaystyle{ |a - b|^2 = (a - b)^2 }[/math]. Esta propriedade diz que a área de um quadrado não pode ser negativa. Porque a distância entre dois pontos não pode ser negativa. Se calcularmos a diferença entre dois números, ela só pode ser negativa ou positiva. Desde que os números sejam diferentes entre si. Porém, estamos calculando uma área de um quadrado, o que elimina resultados negativos.
  
  [math]\displaystyle{ |a - b|^2 = |a - b||a -b| = |(a - b)^2| = (a - b)^2 }[/math].

• [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| }[/math]. Qualquer número (real), negativo ou não, elevado ao quadrado, é positivo porque é a área de um quadrado. Isto coincide com a definição do valor absoluto. Tanto áreas quanto distâncias sempre são positivas.
  
  Sabemos que [math]\displaystyle{ x^2 \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R} }[/math] e das propriedades anteriores que [math]\displaystyle{ |x|^2 = x^2 }[/math]. Assim [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| }[/math]. (tirar a raiz quadrada em ambos os lados é o mesmo que elevar ambos os lados a 1/2)

• [math]\displaystyle{ \text{Se} \ a \gt 0, |x| \lt a \iff -a \lt x \lt a }[/math]. Há duas formas gráficas de visualizar isto. Uma é a reta dos números. Suponha que [math]\displaystyle{ a = 10 }[/math]. Então [math]\displaystyle{ x }[/math] esta limitado entre dois extremos, 10 e -10. Por exemplo, podemos pensar em 9.999 (não escreva .999... !!). Qualquer número entre dois extremos finitos satisfaz esta propriedade.
  
  
  
  
  A outra forma é visualizar um círculo com o centro em [math]\displaystyle{ x }[/math] e raio igual a [math]\displaystyle{ |a - x| }[/math]. A propriedade estabelece que [math]\displaystyle{ x }[/math] esta localizado em algum ponto entre [math]\displaystyle{ -a }[/math] e [math]\displaystyle{ a }[/math], exceto nas extremidades. Como provar que a propriedade é verdadeira? Usamos a definição do valor absoluto:
  
  Se [math]\displaystyle{ x = 0 \implies |a| \gt 0 }[/math]. Senão [math]\displaystyle{ x = a = 0 }[/math], mas começamos assumindo que [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math].
  
  Se [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math] vem a questão: [math]\displaystyle{ x \gt a }[/math] ou [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math]? Vamos começar ignorando o primeiro caso porque queremos provar que [math]\displaystyle{ x }[/math] esta em algum lugar no diâmetro do círculo, não fora deste:
  
  [math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt a \implies 0 \lt |x| \lt a \iff -a \lt x \lt a }[/math]. Podemos concluir que [math]\displaystyle{ -a \lt 0 \lt x \iff |x| \lt a }[/math]. (se você não acompanhou, lembre-se que [math]\displaystyle{ a }[/math] é positivo. Portanto, [math]\displaystyle{ x }[/math] também é positivo. Escolha dois números positivos e veja você mesmo na figura acima)
  
  Sobrou o caso [math]\displaystyle{ x \lt 0 }[/math] (primeiro consideramos valores positivos, agora precisamos analisar os negativos):
  
  [math]\displaystyle{ |x| \lt a \implies -x \lt a }[/math] e [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math]. Mas podemos inverter o sinal assim [math]\displaystyle{ x \gt -a }[/math]. Os dois casos anteriores podem ser escritos num só [math]\displaystyle{ -a \lt x \lt a }[/math]. Provamos que [math]\displaystyle{ |x| \lt a \implies -a \lt x \lt a }[/math].
  
  Agora a implicação oposta:
  
  Se [math]\displaystyle{ x \gt 0, \ |x| = x }[/math]. Então [math]\displaystyle{ x \lt a }[/math].
  
  Se [math]\displaystyle{ x \lt 0, \ |x| = -x }[/math]. Então [math]\displaystyle{ -x \lt a }[/math] é igual a [math]\displaystyle{ x \gt -a }[/math] e [math]\displaystyle{ |x| \lt a }[/math].
  
  Conclusão: [math]\displaystyle{ -a \lt x \lt a \implies |x| \lt a }[/math].

• [math]\displaystyle{ |a + b| \le |a| + |b| }[/math]. Desigualdade triangular. Na geometria euclidiana a soma dos lados de dois lados de um triângulo não pode ser menor do que o comprimento do terceiro. Ou então, de outro ponto de vista, se dividirmos um segmento em duas partes, a soma das partes não pode ser maior do que o segmento original. Há mais de uma forma de fazer a demonstração, vou mostrar uma:
  
  [math]\displaystyle{ -|a| \le a \le |a| }[/math]
  [math]\displaystyle{ -|b| \le b \le |b| }[/math] (um número é limitado entre si mesmo e o seu oposto)
  
  Some ambos: [math]\displaystyle{ -|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b| }[/math]
  
  A propriedade anterior estabelece que [math]\displaystyle{ |a| \le b \iff -b \le a \le b }[/math]
  
  Conclusão: [math]\displaystyle{ |a + b| \le |a| + |b| }[/math]