View source for Exercícios de intersecção de subespaços vetoriais

No espaço <math> \text{F}(\mathbb{R}) </math>, seja <math> \text{F}_1 </math> o conjunto das funções pares <math> (f(x) = f(-x)) </math> e <math> \text{F}_2 </math> o conjunto das funções ímpares <math> (f(-x) = -f(x)) </math>.


* Mostre que <math> \text{F}_1 </math> e <math> \text{F}_2 </math> são subespaços de <math> \text{F}(\mathbb{R}) </math>

Seja <math> f(x) = 0 </math>, <math> f \in \text{F}_1 </math> e <math> f \in \text{F}_2 </math>.

Seja <math> f(x) = f(-x) </math> e <math> g(x) = g(-x) </math>. Então <math> f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) \iff (f + g)(x) = (f + g)(-x) </math>. ''A soma de funções pares é par.''

Seja <math> f(-x) = -f(x) </math> e <math> g(-x) = -g(x) </math>. Então <math> f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) \iff (f + g)(-x) = (f - g)(x) </math>. ''A soma de funções ímpares é ímpar.''

Seja <math> a \in \mathbb{R} </math>. Então <math> af(x) = af(-x) \iff (af)(x) = (af)(-x) </math> e <math> af(-x) = -af(x) \iff (af)(-x) = (-af)(x) </math>. ''Multiplicar por uma constante não altera a paridade da função.''

<hr>

* Mostre que <math> \text{F}_1 \cap \text{F}_2 = \{0\} </math> 

Seja <math> f \in \text{F}_1 \cap \text{F}_2 </math>. Isso implica que a função é par e ímpar, pois está em ambos os subespaços simultaneamente. Tambem implica que a função é uma combinação linear de uma função par e uma ímpar. Portanto podemos considerar as definições de funções pares e ímpares como um sistema linear e somar ambas as equações para resolvê-lo:

<math>\begin{cases}
f(x) & = & f(-x) \\
-f(x) & = & f(-x) \\
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
f(x) & = & f(-x) \\
f(x) & = & -f(-x) \\
\end{cases}
</math>

<math>\begin{align*}
2f(x) & = f(-x) - f(-x) \\
f(x) & = 0
\end{align*}
</math>

Conclusão: apenas a função identicamente nula é par e ímpar.

<hr>

* Mostre que <math> \text{F}_1 + \text{F}_2 = \text{F}(\mathbb{R}) </math>. Logo <math> \text{F}(\mathbb{R}) = \text{F}_1 \oplus \text{F}_2 </math>

Para resolver a questão é necessário saber uma identidade, um teorema, que diz que uma função pode ser escrita como uma soma de uma função par e uma ímpar ''(a demonstração dessa propriedade não é vista em álgebra linear)'':

Seja <math>\text{F}_1(x)</math> uma função par: <math>\text{F}_1(x) = \frac{1}{2}(f(x) + f(-x))</math>

Seja <math>\text{F}_2(x)</math> uma função ímpar: <math>\text{F}_2(x) = \frac{1}{2}(f(x) - f(-x))</math>

Temos que 

<math>
\text{F}(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}
</math>

Corresponde ao espaço de todas as funções reais. Como a interseção é a função nula, a soma é direta.

<hr>

Em <math> \mathbb{R}^3 </math>, sejam <math> \text{S}_1 = [(1,0,-1), (0,1,1)] </math> e <math> \text{S}_2 = [(1,1,1), (1,0,0)] </math>

* Determine <math> \text{S}_1 \cap \text{S}_2 </math>

Todo vetor de <math> \text{S}_1 </math> é uma combinação linear dos dois vetores do conjunto. O mesmo vale para <math> \text{S}_2 </math>. Um vetor pertencente à intersecção é, então, combinação linear de todos os vetores dados, pois ele pertence tanto a um subespaço quanto ao outro simultaneamente. Ou seja:

<math>\begin{align*}
a(1,0,-1) + b(0,1,1) = (x,y,z) \\
c(1,1,1) + d(1,0,0) = (x,y,z) \\
\therefore & \\
a(1,0,-1) + b(0,1,1) = c(1,1,1) + d(1,0,0)
\end{align*}
</math>

Isso significa que os vetores da solução são da forma ''(a passagem da multiplicação dos vetores pelos respectivos escalares foi omitida)'':

<math>
(a,b,b - a) = (c + d, c, c)
</math>

O que nos leva ao seguinte sistema linear:

<math>
\begin{cases}
a & = c + d \\
b & = c \\
-a + b & = c
\end{cases}
</math>

Isolando b na terceira equação e depois igualando a segunda com a terceira:

<math>\begin{align*}
b = c + a \\
\therefore
c = c + a \\
\therefore
a = 0
\end{align*}
</math>

Aplicando a = 0 na equação que representa os vetores solução chegamos a:

<math>
(0,b,b) = (0,c,c)
</math>

Concluímos então que o espaço solução é formado por vetores onde a primeira coordenada é nula e a segunda e terceira são iguais. Como as variáveis assumem valores reais, temos que todas as soluções são da forma ''(não importa qual b ou c, desde que sejam reais e iguais)''. Onde t é uma escalar qualquer:

<math>
u = t(0,1,1)
</math>

Geometricamente trata-se de uma interseção de dois planos, onde a interseção é uma reta. Veja que é um problema de geometria analítica mas tratado de forma puramente algébrica.