Exercícios de intersecção de subespaços vetoriais

No espaço [math]\displaystyle{ \text{F}(\mathbb{R}) }[/math], seja [math]\displaystyle{ \text{F}_1 }[/math] o conjunto das funções pares [math]\displaystyle{ (f(x) = f(-x)) }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{F}_2 }[/math] o conjunto das funções ímpares [math]\displaystyle{ (f(-x) = -f(x)) }[/math].

• Mostre que [math]\displaystyle{ \text{F}_1 }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{F}_2 }[/math] são subespaços de [math]\displaystyle{ \text{F}(\mathbb{R}) }[/math]

Seja [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ f \in \text{F}_1 }[/math] e [math]\displaystyle{ f \in \text{F}_2 }[/math].

Seja [math]\displaystyle{ f(x) = f(-x) }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) = g(-x) }[/math]. Então [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) \iff (f + g)(x) = (f + g)(-x) }[/math]. A soma de funções pares é par.

Seja [math]\displaystyle{ f(-x) = -f(x) }[/math] e [math]\displaystyle{ g(-x) = -g(x) }[/math]. Então [math]\displaystyle{ f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) \iff (f + g)(-x) = (f - g)(x) }[/math]. A soma de funções ímpares é ímpar.

Seja [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math]. Então [math]\displaystyle{ af(x) = af(-x) \iff (af)(x) = (af)(-x) }[/math] e [math]\displaystyle{ af(-x) = -af(x) \iff (af)(-x) = (-af)(x) }[/math]. Multiplicar por uma constante não altera a paridade da função.

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• Mostre que [math]\displaystyle{ \text{F}_1 \cap \text{F}_2 = \{0\} }[/math]

Seja [math]\displaystyle{ f \in \text{F}_1 \cap \text{F}_2 }[/math]. Isso implica que a função é par e ímpar, pois está em ambos os subespaços simultaneamente. Tambem implica que a função é uma combinação linear de uma função par e uma ímpar. Portanto podemos considerar as definições de funções pares e ímpares como um sistema linear e somar ambas as equações para resolvê-lo:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} f(x) & = & f(-x) \\ -f(x) & = & f(-x) \\ \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} f(x) & = & f(-x) \\ f(x) & = & -f(-x) \\ \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align*} 2f(x) & = f(-x) - f(-x) \\ f(x) & = 0 \end{align*} }[/math]

Conclusão: apenas a função identicamente nula é par e ímpar.

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• Mostre que [math]\displaystyle{ \text{F}_1 + \text{F}_2 = \text{F}(\mathbb{R}) }[/math]. Logo [math]\displaystyle{ \text{F}(\mathbb{R}) = \text{F}_1 \oplus \text{F}_2 }[/math]

Para resolver a questão é necessário saber uma identidade, um teorema, que diz que uma função pode ser escrita como uma soma de uma função par e uma ímpar (a demonstração dessa propriedade não é vista em álgebra linear):

Seja [math]\displaystyle{ \text{F}_1(x) }[/math] uma função par: [math]\displaystyle{ \text{F}_1(x) = \frac{1}{2}(f(x) + f(-x)) }[/math]

Seja [math]\displaystyle{ \text{F}_2(x) }[/math] uma função ímpar: [math]\displaystyle{ \text{F}_2(x) = \frac{1}{2}(f(x) - f(-x)) }[/math]

Temos que

[math]\displaystyle{ \text{F}(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} }[/math]

Corresponde ao espaço de todas as funções reais. Como a interseção é a função nula, a soma é direta.

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Em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], sejam [math]\displaystyle{ \text{S}_1 = [(1,0,-1), (0,1,1)] }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{S}_2 = [(1,1,1), (1,0,0)] }[/math]

• Determine [math]\displaystyle{ \text{S}_1 \cap \text{S}_2 }[/math]

Todo vetor de [math]\displaystyle{ \text{S}_1 }[/math] é uma combinação linear dos dois vetores do conjunto. O mesmo vale para [math]\displaystyle{ \text{S}_2 }[/math]. Um vetor pertencente à intersecção é, então, combinação linear de todos os vetores dados, pois ele pertence tanto a um subespaço quanto ao outro simultaneamente. Ou seja:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} a(1,0,-1) + b(0,1,1) = (x,y,z) \\ c(1,1,1) + d(1,0,0) = (x,y,z) \\ \therefore & \\ a(1,0,-1) + b(0,1,1) = c(1,1,1) + d(1,0,0) \end{align*} }[/math]

Isso significa que os vetores da solução são da forma (a passagem da multiplicação dos vetores pelos respectivos escalares foi omitida):

[math]\displaystyle{ (a,b,b - a) = (c + d, c, c) }[/math]

O que nos leva ao seguinte sistema linear:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} a & = c + d \\ b & = c \\ -a + b & = c \end{cases} }[/math]

Isolando b na terceira equação e depois igualando a segunda com a terceira:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} b = c + a \\ \therefore c = c + a \\ \therefore a = 0 \end{align*} }[/math]

Aplicando a = 0 na equação que representa os vetores solução chegamos a:

[math]\displaystyle{ (0,b,b) = (0,c,c) }[/math]

Concluímos então que o espaço solução é formado por vetores onde a primeira coordenada é nula e a segunda e terceira são iguais. Como as variáveis assumem valores reais, temos que todas as soluções são da forma (não importa qual b ou c, desde que sejam reais e iguais). Onde t é uma escalar qualquer:

[math]\displaystyle{ u = t(0,1,1) }[/math]

Geometricamente trata-se de uma interseção de dois planos, onde a interseção é uma reta. Veja que é um problema de geometria analítica mas tratado de forma puramente algébrica.