Transformações de gráficos de funções

Dependendo de como você aprendeu (ou pior ainda, não aprendeu nada!!) funções na escola, os gráficos podem ser um grande desafio a ser superado. Quando resolvemos equações estamos fazendo contas aritméticas básicas e, na maior parte do tempo, sem pensar no gráfico. Unindo a visualização gráfica com operações aritméticas simples conseguimos uma interpretação mais completa dos problemas.

Os livros que eu conheço não trazem muitas explicações a respeito da transladação de funções. Eles somente listam as propriedades, dão exemplos, mas não aprofundam. Eu achei que o conceito de função composta ajudaria a evitar confusões com o sinal de menos em alguns casos.

Em alguns trechos eu menciono a álgebra linear porque tem conceitos da álgebra linear que ajudam a entender o que acontece com funções quando transformamos seus respectivos gráficos com algumas operações. Os professores de cálculo frequentemente mencionam que multiplicar uma função por uma constante é uma "operação ou transformação linear" sem dar maiores explicações. Linear diz respeito à deformação do gráfico ser constante. O gráfico não é "destruído" no sentido de perder o seu formato original, como curvas sendo esticadas ou retas curvadas por exemplo. Não-linear diz respeito a um fator de deformação que não é constante. O gráfico perde a sua forma original, com perda das suas proporções originais.

Transladando o gráfico para cima / baixo

(Sem escala)

Pegue a função [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] por exemplo. Queremos que o gráfico suba. Como fazê-lo? Adicionando [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades para a função. Adicionar [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades significa que, para cada [math]\displaystyle{ x^2 }[/math], queremos isto [math]\displaystyle{ x^2 + n }[/math]. Não alteramos a curvatura do gráfico e nem o contradomínio da função. O que fizemos foi deslocar todos os valores de [math]\displaystyle{ y }[/math] por [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades. O que de fato foi alterado é a imagem da função. Para duas variáveis é a mesma ideia. Troque a adição por subtração e deslocamos o gráfico para baixo.

Refletindo o gráfico na vertical

(Sem escala)

Se multiplicarmos todo [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] por -1, a função é virada de cabeça para baixo. Os pontos de [math]\displaystyle{ f }[/math] que forem negativos são refletidos para valores positivos e vice-versa. Quando uma função é composta (inserida) num módulo, todo valor negativo de [math]\displaystyle{ f }[/math] é refletido para um positivo. É por isto que os gráficos exibem um comportamento "espelhado" quando há um módulo. Para duas variáveis, multiplicar [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] por -1 tem o mesmo efeito do caso de uma variável.

Deformando o gráfico

(Sem escala)

E agora deformando o gráfico? Queremos esticar / comprimir / encolher / alargar o gráfico. Vamos multiplicar a função por [math]\displaystyle{ n }[/math]. Qual a diferença entre [math]\displaystyle{ nf(x) }[/math] e [math]\displaystyle{ f(nx) \ ? }[/math] No primeiro caso estamos fazendo a função crescer mais rápido, [math]\displaystyle{ nf(x) \gt f(x) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math] e todo [math]\displaystyle{ f(x) \gt 0 }[/math] (cuidado com as condições!). No segundo caso (cuidado com [math]\displaystyle{ nx^2 \neq (nx)^2 }[/math]!) também estamos fazendo a função crescer mais rápido, mas ao mesmo tempo estamos mexendo no argumento. O que acontece se [math]\displaystyle{ 0 \lt n \lt 1 ? }[/math] Para [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}(x^2) }[/math] estamos "desacelerando" a velocidade de crescimento da função. Para [math]\displaystyle{ f \left(\frac{1}{2}x \right) = \left(\frac{1}{2}x \right)^2 }[/math] também estamos diminuindo a taxa de crescimento da função. Infelizmente não posso mostrar uma animação aqui, mas conforme a constante se aproxima de zero, estamos "achatando" a parábola. Quando o sinal inverte, o gráfico também inverte. Para duas variáveis podemos deformar o gráfico ao longo de uma variável ou ambas ao mesmo tempo. Porém, multiplicar a função por uma constante irá multiplicar ambas as variáveis simultaneamente neste caso. Lembre-se que [math]\displaystyle{ z }[/math] depende de cada par (x,y)</math>. Observação: em casos onde [math]\displaystyle{ nf(x) = f(nx) }[/math] for verdade, esta é uma das propriedades de uma transformação linear em álgebra linear. Para duas ou mais variáveis há algo semelhante chamado de função homogênea que não vou discutir aqui.

Reflexão horizontal do gráfico

(Sem escala)

Quando uma função é par esta operação não faz nada na mesma. É por isto que neste exemplo eu estou usando [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math]. Quando a potência é impar, os parentesis não mudam o sinal. Mas quando a potência é par, aí os parentesis evitam a confusão [math]\displaystyle{ (-x)^2 \neq -x^2 }[/math]. Para evitar a confusão mencionada eu vou usar uma função composta. [math]\displaystyle{ g(x) = -x }[/math] é uma função que não faz nada além de inverter o sinal de cada número. Cada entrada é multiplicada por -1. [math]\displaystyle{ f(g(x)) = x^3 }[/math]. É uma cúbica que foi girada | rotacionada ao longo do eixo vertical. Para cada número positivo que entramos com, [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] inverte o seu sinal, depois [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] calcula o cubo do mesmo número. Neste caso específico, inverter a ordem da composição das funções dá no mesmo. Quando uma função é girada | rotacionada ao longo do eixo vertical, há uma função composta "escondida" que faz a operação de inverter o sinal de cada argumento. Para duas variáveis é mais complicado. Podemos inverter o sinal de uma das variáveis independentemente da outra ou inverter o sinal de ambas ao mesmo tempo. Observação: você pode ter notado um fato interessante. Quando pegamos uma função ímpar e a espelhamos, ela continua ímpar. Quando pegamos uma função par e a espelhamos, ela continua par. Graficamente isto é explicado pelo fato de que as funções propriamente já são simétricas em relação a um eixo.

Transladando a função lateralmente

O primeiro modo de explicar isto é bem simples. O que queremos é: para cada [math]\displaystyle{ n }[/math] passos que dermos em [math]\displaystyle{ x }[/math] para a direita, queremos que cada um dos pontos do gráfico se desloque de acordo, sem ir para cima ou para baixo, nem aumentando ou diminuindo a distância entre eles. Suponha que apliquemos [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Calculamos [math]\displaystyle{ f(1), \ f(2), \ f(3), \ ... }[/math]. No eixo horizontal estamos indo para a direita numa taxa constante de 1. Porém, no eixo vertical, cada imagem esta se deslocando para cima porque estamos calculando [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]. Ou seja, queremos que [math]\displaystyle{ f(1), \ f(2), \ f(3), \ ... }[/math] se mantenham na mesma altura antes e depois de darmos um passo para a direita. Como "consertamos" isto? Fazendo a operação inversa, subtraindo 1 de cada argumento da função para que assim os pontos da imagem se mantenham nas suas respectivas alturas originais. Em outras palavras [math]\displaystyle{ f(1 - 1), \ f(2 - 2), \ f(3 - 3), \ ... }[/math]. Portanto, para deslocar o gráfico da função para a direita por [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades nós mudamos o argumento para [math]\displaystyle{ (x - n) }[/math]. O mesmo raciocínio é aplicado para deslocar a função para a esquerda, agora com um sinal de "+" no lugar de "-".

(gráfico desenhado à mão sem escala)

[math]\displaystyle{ g_2(x) }[/math]. Eu usei um índice para diferenciar a função entre antes e depois da transladação.

A segunda forma de explicar isto envolve taxas de variação e a função composta. Use a função identidade e sobreponha-a com a parábola. Elas se interceptam na origem e em [math]\displaystyle{ n = n^2 = 1 }[/math]. Vê o triângulo retângulo formado pelos pontos de origem, [math]\displaystyle{ f(n) = g(n) }[/math] e [math]\displaystyle{ n \ ? }[/math] Agora desloque as funções para a direita. O triângulo permanece intacto, o que significa que não alteramos a taxa de variação de ambas as funções. A raiz das funções, por outro lado, mudou de [math]\displaystyle{ f(0) = g(0) = 0 }[/math] para uma uma nova posição em [math]\displaystyle{ n }[/math]. Como a taxa de variação da função identidade é constante, temos que [math]\displaystyle{ g(x \pm n) = x \pm n }[/math]. Ao deslocarmos a função identidade para baixo por [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades, a sua raiz se desloca para a direita por [math]\displaystyle{ n }[/math] unidades também. Qual é a função que passa pelos pontos [math]\displaystyle{ (0, \ -n) }[/math] e [math]\displaystyle{ (0, \ n) \ ? }[/math] É [math]\displaystyle{ g_2(x) = x - n }[/math]. Para o vértice da parábola coincidir com a raiz de [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] temos que [math]\displaystyle{ f_2(g_2(x)) = (x - n)^2 }[/math]. Queremos que tanto a parábola quanto a linha reta tenham a mesma altura igual a zero ali. Esta é uma forma gráfica de entender funções compostas.

Deslocando funções pares ou ímpares

[math]\displaystyle{ \ \ \ f(x) = f(-x) }[/math]. Função par.

[math]\displaystyle{ -f(x) = f(-x) }[/math]. Função ímpar.

Tanto funções pares quanto ímpares são simétricas, mas não é somente por isto que elas são pares ou ímpares!

Uma função par continua par se você multiplicá-la por uma constante. O mesmo vale para funções ímpares. Pense um pouco. O fator de deformação da função é constante, o que preserva a simetria no que diz respeito aos eixos vertical e horizontal.

Deslocar uma função para cima ou para baixo pode ou não preservar o fato da função ser par ou ímpar. Observe como os pontos da parábola se comportam quando deslocamos o gráfico para cima ou para baixo. É fácil ver que ela permanece uma função par. Por outro lado, a função identidade perde a propriedade de ser ímpar ao fazermos o mesmo.

Deslocar a função para a direita ou esquerda preserva a simetria e o formato do gráfico, mas a função deixa de ser par ou ímpar. Pense um pouco. Se deslocarmos a parábola lateralmente não mudamos o formato do gráfico. Porém, alteramos o argumento. Pegue dois pontos, [math]\displaystyle{ a \neq b }[/math], tal que [math]\displaystyle{ f(a) = f(b) }[/math]. Depois da função ser deslocada lateralmente, não temos mais [math]\displaystyle{ |a - 0| = |b - 0| }[/math]. O mesmo acontece com funções ímpares. Isto é, a distância entre dois argumentos é preservada quando a função é deslocada lateralmente. Por outro lado, a distância entre um argumento e a origem e o outro argumento e a origem, deixa de ser uma igual à outra.