Propriedades dos limites
As propriedades dos limites são consequências diretas do modo como operamos com funções. Quando adicionamos uma função à outra nós o fazemos para cada um dos seus respectivos pontos. Somamos as suas respectivas expressões, resultando numa terceira função que, para cada ponto, dá a soma dos valores das respectivas funções que estamos somando. Isto naturalmente dá a ideia de que a soma de funções contínuas é contínua, porque se o limite de ambas as funções existe num ponto, então a função resultante também esta definida naquele ponto e tem um limite conhecido. Por exemplo: se o limite de uma função é 1 num ponto e o limite de outra função é 2 no mesmo ponto. O resultado da soma dos limites deverá ser 3.
Note que se o limite de uma função não existe num ponto. Então adicionar uma função cujo limite exista resulta num limite, de uma soma de funções, que não existe naquele ponto. Eu apenas menciono isto porque algumas pessoas podem pensar que se um limite não existe, isto seria o equivalente a um buraco. Portanto, adicionar uma função cujo limite exista naquele mesmo ponto seria como "preencher" o buraco. Este raciocínio esta completamente furado. Para entender melhor pegue uma função cujo limite exista e outra cujo limite não exista, no mesmo ponto. Faça o gráfico da função resultante da soma. Ficará óbvio que naquele ponto o limite não existe.
Para funções de várias variáveis as mesmas propriedades são verdadeiras.
As propriedades
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \ \to \ a} f(x) \pm \lim_{x \ \to \ a} g(x) = L_1 \pm L_2 }[/math] (O limite da soma | diferença é a soma | diferença dos limites)
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x)g(x) = \left(\lim_{x \ \to \ a} f(x)\right) \left(\lim_{x \ \to \ a} g(x)\right) = L_1L_2 }[/math] (O limite do produto é o produto dos limites. Troque a segunda função por [math]\displaystyle{ \frac{1}{g(x)} }[/math] e temos a regra do quociente, desde que a segunda função não seja zero naquele ponto.)
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \ \to \ a} f(x)} = \sqrt[n]{L} }[/math]. (O limite da raiz enésima é a enésima raiz do limite, desde que o limite não seja negativo e [math]\displaystyle{ n }[/math] seja par.)
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} cf(x) = c\lim_{x \ \to \ a} f(x) = cL }[/math]. (O limite da função vezes uma constante é a constante vezes o limite. Esta propriedade é uma transformação linear porque quando multiplicamos uma função por uma constante não mudamos os pontos críticos, eles permanecem onde estão. Frequentemente esquecemos que multiplicar por 1 é a mesma coisa que multiplicar por c e dividir por c ao mesmo tempo, desde que c não seja zero.)
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(\overbrace{g(x)}^{u}) = \lim_{u \ \to \ g(a)} f(u) }[/math]. (Cuidado com isto! A existência do limite de [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] não garante que a existência do limite de [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math]. Por outro lado, se o limite de [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] não existir, temos a garantia de que o limite de [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math] também não existe.)
Prova das propriedades
A maioria dos professores pulam estas em classe porque tomam muito tempo para explicar em detalhes.
[math]\displaystyle{ (f + g)(x) = f(x) + g(x) }[/math] É a expressão que significa a soma de funções.
[math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} (f + g)(x) = \lim_{x \ \to \ a} f(x) + \lim_{x \ \to \ a} g(x) }[/math] É assim que alguns professores explicam em aula. Mas não é uma prova.
Para provar que o limite da soma é a soma dos limites temos que usar a definição formal do limite. A prova da desigualdade triangular é um pré-requisito. Aqui note que o limite de ambas as funções esta definido. De outra forma, se um ou ambos os limites não existirem, não podemos fazer a soma!
[math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x) = L }[/math] é o mesmo que [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x) - L = 0 }[/math] (Pense um pouco: se o limite é [math]\displaystyle{ f(a) }[/math], então a distância entre o limite e [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] deve ser zero porque um é igual ao outro)
[math]\displaystyle{ f(x) + g(x) - (L_1 + L_2) = [f(x) - L_1] + [g(x) - L_2] }[/math]
Já estamos assumindo que o limite de ambas as funções existe, então vamos assumir que [math]\displaystyle{ f(x) \to 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) \to 0 }[/math] conforme [math]\displaystyle{ a \to 0 }[/math]. Algumas funções podem não ter um limite em [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], mas já começamos excluindo esta possibilidade. Se ambos os limites forem iguais a zero, então temos que provar que a soma dos limites também é igual a zero. Para cada [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] existe um [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] tal que
[math]\displaystyle{ |f(x) + g(x)| \lt \epsilon| }[/math] sempre que [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta }[/math]
Seja [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] dado. Como [math]\displaystyle{ f(x) \to a }[/math] conforme [math]\displaystyle{ x \to a }[/math], existe um [math]\displaystyle{ \delta_1 \gt 0 }[/math] tal que
[math]\displaystyle{ |f(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] sempre que [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta_1 }[/math]
Repita para [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]:
[math]\displaystyle{ |g(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] sempre que [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta_2 }[/math]
(se você não entendeu a divisão por 2. Lembre-se que na definição formal do limite temos que o limite é limitado por +erro e -erro. Acabamos de aplicar a propriedade do módulo)
Se permitirmos que [math]\displaystyle{ \delta }[/math] indique o menor dentre dois números, [math]\displaystyle{ \delta_1 }[/math] e [math]\displaystyle{ \delta_2 }[/math], então ambas as desigualdades desigualdades anteriores são válidas se [math]\displaystyle{ 0 \lt |x - a| \lt \delta }[/math]. Logo, pela desigualdade triangular, chegamos em
[math]\displaystyle{ |f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \lt \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon }[/math].
As demais propriedades seguem um raciocínio similar.
Observação: Eu segui o livro do Tom Apostol nesta prova.
Links para as provas:
