Propriedades das potências

Numa aula de métodos numéricos um professor me disse que a adição é uma função. Se você prestar atenção, uma potência é uma função. Estamos juntando um número, um outro número e produzindo um terceiro a partir dos anteriores. A adição faz o mesmo. Traçar o gráfico de [math]\displaystyle{ a^x }[/math] ajuda a ver as potências como funções.

• [math]\displaystyle{ a^m \cdot a^n = a^{m \ + \ n} }[/math]. Por quê não [math]\displaystyle{ a^{m \cdot n} }[/math]? Primeiro por causa da propriedade abaixo.
  
  Façamos [math]\displaystyle{ a^m = b }[/math]. Então [math]\displaystyle{ b \cdot a^n = \underbrace{a^n \ + \ a^n \ + \ a^n \ +\ ...}_{b \ \text{vezes}} = \underbrace{b \ + \ b \ + \ b \ +\ ...}_{a^n \ \text{vezes}} }[/math]
  
  Façamos [math]\displaystyle{ a^n = c }[/math]. Then [math]\displaystyle{ c \cdot a^m = \underbrace{a^m \ + \ a^m \ + \ a^m \ +\ ...}_{c \ \text{vezes}} = \underbrace{c \ + \ c \ + \ c \ +\ ...}_{a^m \ \text{vezes}} }[/math]
  
  O próximo passo agora não é uma prova formal, mas você notou que [math]\displaystyle{ c \cdot b = a^n a^m }[/math]? Portanto [math]\displaystyle{ c \cdot b = \underbrace{c \ + \ c \ + \ c \ + \ ...}_{b \ \text{vezes}} = \underbrace{b \ + \ b \ + \ b \ + \ ...}_{c \ \text{vezes}} }[/math]. Concluímos assim que [math]\displaystyle{ a^{m + n} }[/math]. Em outras palavras, multiplicar um número elevado a outro pelo mesmo número elevado a uma potência diferente da anterior é o mesmo que somar os expoentes, porque estaremos somando o número de multiplicações de uma potência com o número da outra. Links (em inglês) para uma demonstração mais formal aqui ou aqui.

• [math]\displaystyle{ (a^b)^c = a^{bc} }[/math]. Todo mundo aprende na escola que [math]\displaystyle{ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 }[/math] e que [math]\displaystyle{ 2 \times 3 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 }[/math]. Confundir ambos é bem comum e eu mesmo já me confundi várias e várias vezes. Façamos [math]\displaystyle{ a^b = n }[/math]. Então temos [math]\displaystyle{ n^c = \underbrace{a^b \cdot a^b \cdot a^b\ ...}_{c \ \text{vezes}} }[/math] que é o mesmo que [math]\displaystyle{ a^{\overbrace{{(b \ + \ b \ + \ b \ + \ ...)}}^{c \ \text{vezes}}} }[/math]. Daí [math]\displaystyle{ (a^b)^c = a^{bc} }[/math].

• [math]\displaystyle{ a^{-1}= \frac{1}{a} }[/math]. Na escola é mais comum não usar expoentes negativos. Eu não sei dizer porquê, mas suspeito que há uma complexidade associada com pensar "Todos aprendemos que elevar a 10 significa multiplicar um número por si mesmo 10 vezes. Se a potência for -10, como é que vamos multiplicar um número negativo de vezes?". Com cálculo e álgebra linear o expoente negativo fica mais natural por causa das derivadas, integrais, a matriz inversa e as regras que acompanham os cálculos. Talvez uma maneira de facilitar seja assim: [math]\displaystyle{ a^{-n} = a^{(-1)(n)} = {(a^n)}^{-1} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \frac{a^n}{a^m} = a^{n \ - \ m} }[/math]. Na escola me ensinaram a decorar que a regra diz para subtrair o expoente de baixo do de cima. Vamos reescrever: [math]\displaystyle{ a^n \cdot \frac{1}{a^m} = a^n \cdot a^{-m} = a^{n \ + \ (-m)} }[/math]. Assumindo que [math]\displaystyle{ a^m \neq 0 }[/math].

• [math]\displaystyle{ (ab)^n = a^n b^n }[/math]. Em geral, na escola ensinam que você esta "aplicando a propriedade distributiva nas potências". Um modo alternativo de ver é assim: [math]\displaystyle{ (ab)^n = \underbrace{ab \cdot ab \cdot ab \ ...}_{n \ \text{vezes}} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} }[/math]. Reescreva: [math]\displaystyle{ \frac{a^{-1}}{b^{-1}} = a^{-1} \cdot b = \frac{b}{a} }[/math].
  
  A outra forma é [math]\displaystyle{ \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} }[/math].
  
  Os professores na escola costumam ensinar a regra "inverta a fração", mas é melhor se aproveitar dos expoentes negativos do que decorar uma regra.

• [math]\displaystyle{ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} }[/math]. É bastante natural de entender o conceito de potências com expoentes inteiros. Por outro lado, frações impõe um nível de abstração porque contamos com inteiros. Uma pessoa é uma unidade, não existe meia pessoa. Vamos dar uma olhada na seguinte propriedade:
  
  [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a^n} = (a^n)^{\frac{1}{n}} = (a^n)^{(n^{-1})} = a^1 }[/math]. Assumindo que [math]\displaystyle{ n \neq 0 }[/math].
  
  O que fazer se [math]\displaystyle{ a \lt 0 \ ? }[/math] Alguns programas ou calculadoras podem errar a conta. A primeira operação é a simplificação do expoente, o que resultaria em 1 no caso anterior. Porém, se o programa ou calculadora fizer a conversão da fração para decimal e/ou calcular a potência primeiro, o resultado será um número complexo.
  
  Na escola eu não me lembro de nenhum professor usando os expoentes negativos da forma que eu acabei de fazer. Os expoentes racionais sempre foram dados como uma regra sem maiores explicações.

• [math]\displaystyle{ a^0 = 1 }[/math]. Sob a condição de que [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math]. Uma forma de ver é assim [math]\displaystyle{ \frac{a^n}{a^n} = a^{n \ - \ n} = 1 }[/math]. Nós estamos na verdade calculando a divisão de um número por ele mesmo.
  
  Outra forma de pensar é em termos de limites. [math]\displaystyle{ a^5, \ a^4, \ a^3, \ ... }[/math]. O limite da sequência é, intuitivamente, próximo de 1. Calcule a raiz quadrada de um número. Repita, calcule a raiz quadrada do resultado. Depois de algumas vezes o número deverá ser próximo de 1 (a razão para isto esta no fato de a calculadora esta aplicando um fórmula que calcula a raiz).
  
  Um terceiro modo é pensar no gráfico de funções. Toda função exponencial cruza o eixo vertical em (0, 1).
  
  Por quê [math]\displaystyle{ 0^0 = \ ? }[/math]. Uma das formas mais intuitivas de pensar porque é indefinido é pensando numa função que não tem limite na origem.

• [math]\displaystyle{ a^x = a^y \iff x = y }[/math], com a base sendo positiva e diferente de 1. É isto que usamos para resolver equações exponenciais. Se temos uma igualdade e ambas as bases são iguais, fica implícito que os expoentes também são iguais. A melhor forma de ver isto é graficamente. Estamos procurando o ponto de intersecção das funções. Pense assim: ambas as bases são iguais, o que diferencia uma da outra é que uma cresce mais rápido do que a outra. Se as suas respectivas taxas de crescimento são diferentes, então em algum ponto do plano elas se interceptam. Só podemos partir deste pressuposto porque a função exponencial é uma função com uma taxa de variação que não muda de sinal. Para a prova precisamos do log:
  
  [math]\displaystyle{ \log(a^x) = \log(a^y) \iff x\log(a) = y\log(a) \iff x\frac{\log(a)}{\log(a)} = y\frac{\log(a)}{\log(a)} \iff x = y }[/math] (sabemos que o log nunca é igual a zero)

• [math]\displaystyle{ a^x = a^y + a^z }[/math]. Se você já parou para pensar, todos os exercícios na escola não tem o termo [math]\displaystyle{ a^z }[/math] porque uma propriedade para tal caso não existe. Não existe a propriedade de soma das bases. Não podemos pressupor que [math]\displaystyle{ x = y + z }[/math] porque não há esta propriedade. O que é possível em alguns casos é fatorar assim [math]\displaystyle{ 2^x(2^x + 1) = 2^{2x} + 2^x }[/math]. Por esta mesma razão não existe a propriedade [math]\displaystyle{ \log(x + y) }[/math]. O log da soma não tem propriedade ou regra porque não temos o mesmo para a soma de duas exponenciais diferentes.

• Expoentes irracionais. Se aparecerem em cálculo, provavelmente serão cancelados em algum lugar. É difícil pensar no significado de um expoente irracional. Uma forma de simplificar é pensar em termos de métodos numéricos. Pense numa fração que seja próxima do número irracional, agora mantenha o erro dentro de um certo limite que seja aceitável para o que se quer. Outra forma é assim: [math]\displaystyle{ a^{\pi} = a^3 \cdot b }[/math], onde [math]\displaystyle{ b = a^{0.1415...} }[/math]. Um modo mais avançado de visualizar é se aproveitando do log, funções, limites, para ter um melhor entendimento. Por exemplo: [math]\displaystyle{ 2 \lt \sqrt{2} \lt 3 }[/math]. Com isto sabemos que [math]\displaystyle{ a^2 \lt a^{\sqrt{2}} \lt a^3 }[/math]. Continuando na nossa análise e precisamos recorrer à funções e limites. Isso geralmente não se aprende em cálculo.