Produtos escalar

Fixada uma base ortonormal [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{e}_x, \overrightarrow{e}_y, \overrightarrow{e}_z) }[/math] e dados dois vetores nesta base, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (x_1, y_1, z_1) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (x_2, y_2, z_2) }[/math], o produto escalar é:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 }[/math]

A fórmula vem da multiplicação de matrizes, onde um vetor é uma matriz linha e o outro é uma matriz coluna. Apesar da fórmula depender das coordenadas dos vetores numa base, se os mesmos vetores tiverem suas coordenadas dadas em outra base ortonormal, o produto escalar não se altera. Geometricamente isto quer dizer que os vetores são ortogonais numa base ortonormal, eles continuam sendo ortogonais em outra base ortonormal. O mesmo acontece com o ângulo entre eles. A diferença entre duas bases ortonormais esta apenas no comprimento dos vetores das suas respectivas bases.

Em álgebra linear é visto que o produto escalar é um caso especial de produto interno, existem outras formas de se definir o cálculo, e que ele é uma função que associa vetores a um número real. Sendo uma função, o produto escalar tambem pode ser visto como uma transformação linear que leva dois vetores do [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] a um vetor do [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. Esses conceitos costumam ser omitidos em geometria analítica.

Propriedades do produto escalar:

Nas propriedades abaixo considere os vetores com coordenadas dadas em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]. Apesar das propriedades estarem desenvolvidas em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], o produto escalar é generalizado para n dimensões.

B1. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} }[/math]	(comutativa)
B2. [math]\displaystyle{ (\lambda\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda\overrightarrow{v}) = \lambda(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}) }[/math]	(multiplicação por escalar)
B3. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{v}_2) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}_2 }[/math]	(distributiva)
B4. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} \ge 0; \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \iff \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math]	(positividade e nulidade)
B5. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = ||\overrightarrow{u}||^2 }[/math]	(norma de um vetor)
B6. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \iff \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} }[/math]	(ortogonalidade)

Prova de B1:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} (x_1,y_1,z_1) \cdot (x_2,y_2,z_2) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = \\ = x_2x_1 + y_2y_1 + z_2z_1 = (x_2,y_2,z_2) \cdot (x_1,y_1,z_1) \end{align*} }[/math]

Prova de B2:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} (\lambda\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = & \text{ } (\lambda x_1)x_2 + (\lambda y_1)y_2 + (\lambda z_1)z_2 = \\ = & \text{ } x_1 (\lambda x_2) + y_1 (\lambda y_2) + z_1 (\lambda z_2) = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v}) \\ = & \text{ } \lambda (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2) = \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) \end{align*} }[/math]

Prova de B3:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (x_1, y_1,z_1), \overrightarrow{v}_1 = (x_2, y_2,z_2), \overrightarrow{v}_2 = (x_3, y_3,z_3) }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{v}_2) = & \text{ } x_1(x_2 + x_3) + y_1(y_2 + y_3) + z_1(z_2 + z_3) = \\ = & \text{ } (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2) + (x_1x_3 + y_1y_3 + z_1z_3) = \\ = & \text{ } \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}_2 \end{align*} }[/math]

Prova de B4:

Se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0} \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 \gt 0 }[/math]

Se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \Rightarrow 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 }[/math]

Prova de B5:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} & = x^2 + y^2 + z^2 \\ ||\overrightarrow{u}||^2 & = \left(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\right)^2 \\ & = x^2 + y^2 + z^2 \\ \therefore \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} & = ||\overrightarrow{u}||^2 \end{align*} }[/math]

Prova de B6:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & = ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}|| \cos \frac{\pi}{2} \\ & = ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}|| 0 \\ & = 0 \end{align*} }[/math]

Expressão cartesiana do produto escalar

Sejam [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = x_1\overrightarrow{e}_x + y_1\overrightarrow{e}_y + z_1\overrightarrow{e}_z }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = x_2\overrightarrow{e}_x + y_2\overrightarrow{e}_y + z_2\overrightarrow{e}_z }[/math], dois vetores do [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]. Por definição temos: [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\cos \theta }[/math]. Aplicando a lei dos cossenos:

[math]\displaystyle{ \cos \theta = \frac{||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2}{2||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||} }[/math]

Substituindo:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & = ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\frac{||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2}{2||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||} \\ & = \frac{||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2}{2} \\ & = \frac{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 + (z_1 + z_2)^2 - (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) - (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2)}{2} \\ & = \frac{(x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + (y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) + (z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2) - (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) - (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2)}{2} \\ & = \frac{(x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) + 2(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2) - (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) - (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2)}{2} \\ & = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \end{align*} }[/math]

Fica assim demonstrada a fórmula para o cálculo do produto escalar.