Exercícios de subespaços vetoriais
Nos exemplos a seguir é dado um conjunto, que pode ser ou não um subespaço do espaço vetorial dado. Caso o conjunto não seja um subespaço, é suficiente mostrar um contra exemplo, um elemento do conjunto para o qual uma das propriedades não vale. Cuidado! Só faça operações com elementos que pertençam ao conjunto, caso contrário a definição do conjunto não faz sentido.
Sigla: e. v. (espaço vetorial)
1. Verifique que o menor espaço vetorial é o trivial [math]\displaystyle{ V = \{0\} }[/math].
[math]\displaystyle{ 0 \in V }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 + 0 \in V }[/math]
[math]\displaystyle{ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \text{ } \alpha 0 \in V }[/math]
2. [math]\displaystyle{ V = P_2(\mathbb{R}) }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{p \in P_2(\mathbb{R} : p(x) \ge 0 \text{ } \forall x \in \mathbb{R}\} }[/math] ([math]\displaystyle{ P_2(\mathbb{R}) }[/math] são os polinômios reais de grau menor ou igual a 2)
Não é e. v., pois [math]\displaystyle{ p(x) = x^2 }[/math]. Então [math]\displaystyle{ -p(x) \notin S }[/math]
3. [math]\displaystyle{ V = \mathbb{R}^n }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \text{ } | \text{ } x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{Q} \} }[/math]
Não é e. v., pois [math]\displaystyle{ \alpha = \sqrt{2} }[/math]. Então [math]\displaystyle{ v = (x_1, x_2, \dots, x_n), \text{ } \alpha v \notin S }[/math].
4. [math]\displaystyle{ V = P(\mathbb{R}) }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{p \in P(\mathbb{R}) : p \text{ possui pelo menos uma raiz real}\} }[/math]
Todo polinômio que possui pelo menos uma raiz real é uma função que em algum ponto intercepta o eixo x.
Sejam [math]\displaystyle{ f(x) = x + 2 }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) = x^2 }[/math]. Temos que [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = x + x^2 + 2 \notin S }[/math]. A soma dos polinômios não possui raiz real, embora ambos os polinômios interceptem o eixo x.
Neste exercício os polinômios mais fáceis de se pensar são os binômios [math]\displaystyle{ (a + b)^2 }[/math] e [math]\displaystyle{ (a - b)^2 }[/math]. Toda função quadrática que exiba um quadrado perfeito possui raiz real, então basta pensar num polinômio que não seja um quadrado perfeito. Em particular, um caso como [math]\displaystyle{ (x + 2)^2 }[/math] deixa de ter raiz real, se ao termo c da equação [math]\displaystyle{ f(x) = ax^2 + bx + c }[/math], adicionarmos 1.
5. [math]\displaystyle{ V = \mathbb{R}^3 }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \;y \text{ é irracional}\} }[/math]
Não é e. v., pois 0 é racional. Zero pode ser escrito na forma 0/1.
6. [math]\displaystyle{ V = \mathbb{R}^3 }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x \le y \le z\} }[/math]
[math]\displaystyle{ (0,0,0) \in S }[/math] pois [math]\displaystyle{ 0 \le 0 \le 0 }[/math] é verdadeiro.
[math]\displaystyle{ u = (x,y,z) }[/math] e [math]\displaystyle{ v = (a,b,c) }[/math]. Temos que [math]\displaystyle{ u + v \Rightarrow x + a \le y + b \le z + c }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}, \; \alpha(x,y,z) \Rightarrow \alpha x \le \alpha y \le \alpha z }[/math] para [math]\displaystyle{ \alpha \ge 0 }[/math], mas não para [math]\displaystyle{ \alpha \lt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \therefore }[/math] não é um e. v.
7. [math]\displaystyle{ V = F([0,1]) }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{f \in F([0,1]) \; : \; f \text{ é integrável em } [0,1] \text{ e } \int_0^1f(t)dt = 0\} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = 0 \in S }[/math]. A função nula é integrável no intervalo [0,1] e a sua integral vale zero.
[math]\displaystyle{ f(x), \; g(x) \in S }[/math]. [math]\displaystyle{ \int_0^{1} ((f + g)(x))dx = \int_0^{1}f(x)dx + \int_0^{1}g(x)dx = 0 }[/math]. Sejam f e g duas funções integráveis no intervalo e com integral igual a zero, a integral da soma é a soma das integrais e zero mais zero igual a zero.
[math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}, \; \int_0^1 \alpha f(x)dx = \alpha \int_0^1 f(x)dx = \alpha 0 = 0 }[/math]. A constante pode ser tirada da integral e como a integral dá zero, qualquer constante vezes zero é zero.
[math]\displaystyle{ \therefore }[/math] é um e. v.
Perceba que não é preciso saber calcular a integral de uma função em específico neste exercício, nem saber se uma função é integrável e quais as condições para uma função o ser. Basta aplicar a definição de integral e saber as regras básicas de soma e multiplicação de função por escalar. Não é um exercício que cobre cálculo propriamente.
7. [math]\displaystyle{ V = P_3(\mathbb{R}) }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{p \in P_3\mathbb(R) \; : \; \text{o coeficiente do termo} \; x \; \text{é nulo}\} }[/math]
[math]\displaystyle{ 0x^3 + 0x^2 + 0x + 0 \in S }[/math]. O polinômio nulo é aquele que tem todos os coeficientes iguais a zero.
[math]\displaystyle{ p(x) = ax^3 + bx^2 + 0x + c }[/math] e [math]\displaystyle{ o(x) = tx^3 + fx^2 + 0x + d }[/math] [math]\displaystyle{ p(x) + o(x) = (a + t)x^3 + (b + f)x^2 + (0 + 0)x + (c + d) \in S }[/math]. Somar polinômios é somar os coeficientes dos termos correspondentes.
[math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}, \; \alpha p(x) = \alpha ax^3 + \alpha bx^2 + \alpha 0x + \alpha c \in S }[/math]. Multiplicar um polinômio por um escalar é multiplicar cada termo pelo escalar.
[math]\displaystyle{ \therefore }[/math] é um e. v.
8. [math]\displaystyle{ V = F(\mathbb{R}) }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{\mathscr{D}\} }[/math] o conjunto de todas as funções diferenciáveis. Mostre que [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] (espaço das funções contínuas) e [math]\displaystyle{ \mathscr{D} }[/math] são subespaços do espaço vetorial de todas as funções reais.
[math]\displaystyle{ f \equiv 0 \in S }[/math]. A função identicamente nula é contínua e diferenciável.
[math]\displaystyle{ f,g \in S, \; (f + g)' = f' + g' }[/math]. A soma de funções contínuas e diferenciáveis é contínua e diferenciável.
[math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}, \; (\alpha f)' = \alpha (f') }[/math]. Multiplicar uma função contínua e diferenciável por uma constante não altera a continuidade e a diferenciabilidade.
[math]\displaystyle{ \therefore }[/math] é um e. v. Embora não cobre cálculo diretamente, neste exercício é preciso saber do resultado do teorema que diz que uma função diferenciável é contínua.
Um teorema do cálculo estabelece que para uma função ser diferenciável ela deve ser contínua. Portanto, [math]\displaystyle{ \mathscr{D} \subset \mathscr{C} }[/math]. Por consequência, [math]\displaystyle{ \mathscr{D} \subset \mathscr{C} \subset \mathscr{F} }[/math]. Note que nem toda função contínua é diferenciavel, portanto [math]\displaystyle{ \mathscr{C} \not\subset \mathscr{D} }[/math]
9. [math]\displaystyle{ V = M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) }[/math] e [math]\displaystyle{ S = \{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) : det(A) = 0 \} }[/math]
[math]\displaystyle{ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \text{ e } B = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ A + B = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ det(A + B) \neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \therefore }[/math] não é um e. v.
Este exercício é muito semelhante ao caso dos polinômios com ao menos uma raiz real. A soma de matrizes não implica que a matriz resultante tenha as mesmas propriedades das matrizes somadas.
10. [math]\displaystyle{ \text{V} = \{\text{A} \in \text{M}_n(\mathbb{R}) \; | \; \text{A}^t = \text{A} \} }[/math]
O conjunto dado é o das matrizes simétricas. Matrizes onde a sua transposta é igual a ela mesma. Em particular, matrizes onde todos os coeficientes são iguais são simétricas.
A matriz nula pertence ao conjunto.
[math]\displaystyle{ \text{A}, \; \text{B} \in \text{V} }[/math]. Como [math]\displaystyle{ (\text{A} + \text{B})^t = \text{A}^t + \text{B}^t = \text{A} + \text{B} }[/math], então [math]\displaystyle{ \text{A} + \text{B} \in \text{V} }[/math].
Sejam [math]\displaystyle{ \text{A} \in \text{V} }[/math] e [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}. (\alpha \text{A})^t = \alpha \text{A}^t = \alpha \text{A} }[/math], [math]\displaystyle{ \therefore \alpha \text{A} \in \text{V} }[/math].
[math]\displaystyle{ \therefore }[/math] é um e. v.
11. Seja [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math] o conjunto dos vetores geométricos do espaço. Sendo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] um vetor fixo desse espaço, mostrar que [math]\displaystyle{ \text{W} = \{\alpha \overrightarrow{u}\; | \; \alpha \in \mathbb{R} \} }[/math] é um subespaço vetorial de [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math].
Interpretação geométrica: um vetor determina uma reta e se esta reta é um subespaço vetorial, então todo vetor do conjunto deve obedecer às três condições de um subespaço vetorial. Em outras palavras, se somarmos vetores do subespaço que é a reta, a soma resulta num vetor que está na mesma reta. O mesmo vale para a multiplicação de um vetor desta reta por um escalar qualquer. Num subespaço que fosse um plano teríamos a mesma interpretação.
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{0} \in \mathbb{V} }[/math] (pois se [math]\displaystyle{ \alpha = 0 }[/math], o elemento nulo existe)
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \alpha \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \beta \overrightarrow{u} }[/math], com [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u}, \; \overrightarrow{w} \in \mathbb{V} }[/math]. Então [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w} = (\alpha + \beta)\overrightarrow{u} }[/math] e daí, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w} \in \mathbb{V} }[/math]
Sejam [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \alpha \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R} }[/math]; então [math]\displaystyle{ \lambda \overrightarrow{v} = \lambda (\alpha \overrightarrow{u}) = (\lambda \alpha) \overrightarrow{u} }[/math], logo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \in \mathbb{V} }[/math]
12. [math]\displaystyle{ \text{V} = \{\text{A} \in \text{M}_n(\mathbb{R}) \; | \; \text{TA} = \text{AT}\} }[/math] onde T é uma matriz dada de [math]\displaystyle{ \text{M}_n(\mathbb{R}) }[/math].
O conjunto dado é o das matrizes, tal que a comutatividade vale dada uma certa matriz. A multiplicação de matrizes não é comutativa por definição, mas para alguns casos ela é. Um exemplo disso ocorre se escolhermos uma matriz A tal que todos os seus coeficientes sejam iguais. Qualquer que seja T vale a comutatividade.
A matriz nula comuta com todas as matrizes.
Sejam [math]\displaystyle{ \text{A}, \; \text{B} \in \mathbb{V} }[/math]. Então [math]\displaystyle{ \text{AT} = \text{TA} }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{BT} = \text{TB} }[/math]. Daí [math]\displaystyle{ (\text{AB})\text{T} = \text{A(B}\text{T}) = (\text{A}\text{T)B} = (\text{TA)}\text{B} = \text{T(A}\text{B}) }[/math]. Cuidado! A comutatividade é em relação a T. Não se pode afirmar que A e B comutam entre si, pois a propriedade não é transitiva como no caso do paralelismo de três vetores entre si.
Sejam [math]\displaystyle{ \text{A} \in \mathbb{V} }[/math] e [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math]. Então [math]\displaystyle{ (\alpha \text{A)T} = \alpha (\text{AT}) = (\alpha \text{T)A} }[/math]. (Multiplicar por uma constante não altera a comutatividade, pois todos os coeficientes são escalados da mesma proporção.)
[math]\displaystyle{ \therefore }[/math] é um e. v.
Neste exercício não é preciso saber calcular produto de matrizes, só é preciso saber aplicar as propriedades.
13. [math]\displaystyle{ \mathbb{V} = \mathbb{P}(\mathbb{R}) }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{S} = \{f(t) \; | \; f(0) = 2f(1)\} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = 0 \in \mathbb{V} }[/math]
Sejam [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] duas funções polinomiais, com [math]\displaystyle{ f(x), \; g(x) \in \text{S}) }[/math]. Temos
[math]\displaystyle{ f(x) + g(x) \Rightarrow f(0) + g(0) = 2f(1) + 2g(1) \iff (f + g)(0) = 2(f + g)(1). \; \therefore f(x) + g(x) \in \text{S} }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math] e [math]\displaystyle{ f(x) \in \text{S} }[/math]. Temos [math]\displaystyle{ \alpha f(0) = \alpha 2f(1) \iff f(0) = 2f(1) }[/math].
[math]\displaystyle{ \therefore }[/math] é um e. v.
