Exercícios de produto vetorial
- Diga se as bases tem a mesma orientação ou orientações opostas:
a) 
Mesma orientação (não seja enganado pela posição das flechas). Compare as bases com a regra da mão direita ou, veja que a numeração dos vetores da base segue o sentido anti-horário nos dois casos. Perceba que se uma base for girada e posicionada em cima da outra é possível corresponder os vetores de uma e de outra na mesma ordem em que eles estão numerados.
b) 
A numeração da primeira esta no sentido anti-horário, enquanto a da segunda esta no sentido horário. Portanto, tem orientações opostas.
- Dadas as bases [math]\displaystyle{ E = \{\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2, \overrightarrow{e}_3\} }[/math] e [math]\displaystyle{ F = \{\overrightarrow{f}_1, \overrightarrow{f}_2, \overrightarrow{f}_3\} }[/math], diga se elas tem a mesma orientação ou orientações opostas:
a) [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_1 = 2\overrightarrow{e}_1 - \overrightarrow{e}_2 - \overrightarrow{e}_3 }[/math] [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_2 = \overrightarrow{e}_1 - \overrightarrow{e}_3 }[/math] [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_3 = \overrightarrow{e}_2 }[/math]
[math]\displaystyle{ M_{EF} = \left[\begin{matrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{matrix}\right] }[/math]
Como det(M) > 0, as bases tem a mesma orientação.
b) [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_1 = \overrightarrow{e}_1 }[/math] [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_2 = \overrightarrow{e}_2 + \overrightarrow{e}_3 }[/math] [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_3 = \overrightarrow{e}_1 + \overrightarrow{e}_2 }[/math]
[math]\displaystyle{ M_{EF} = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right] }[/math]
Como det(M) < 0, as bases tem orientações opostas.
Se det(M) = 0 a matriz de mudança de base não existe e está errada, pois temos vetores linearmente dependentes.
Em todos os exemplos considere uma base ortonormal positiva [math]\displaystyle{ \{\overrightarrow{e}_x,\overrightarrow{e}_y,\overrightarrow{e}_z\} }[/math].
- Calcule [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} }[/math] dados: [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (1,2,3) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (3,2,5) }[/math].
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 5 \end{matrix}\right| & = 4\overrightarrow{e}_x + 4\overrightarrow{e}_y - 4\overrightarrow{e}_z \\ & = (4,4,-4) \end{align*} }[/math]
Para o cálculo de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} }[/math] basta inverter o sinal do vetor já calculado, sem precisar repetir o determinante: [math]\displaystyle{ (-4,-4,4) }[/math]
- A medida em radianos do ângulo entre [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] é [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{6} }[/math]. Sendo [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = 1, \: ||\overrightarrow{v}|| = 7 }[/math], calcule [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|| }[/math] e [math]\displaystyle{ \left|\left|\frac{1}{3}\overrightarrow{u} \times \frac{3}{4}\overrightarrow{v}\right|\right| }[/math].
Pela fórmula da norma do produto vetorial:
[math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|| = 1 \cdot 7 \cdot \text{sen}\frac{\pi}{6} = \frac{7}{2} }[/math]
Pela propriedade do produto vetorial (multiplicar um dos vetores por uma constante é o mesmo que multiplicar o produto vetorial pelo mesmo fator):
[math]\displaystyle{ \left|\left|\frac{1}{3}\overrightarrow{u} \times \frac{3}{4}\overrightarrow{v}\right|\right| = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{8} }[/math]
- Calcule a área do triângulo ABC, sendo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC} = (1,1,0) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} = (0,1,3) }[/math].
Uma das formas de fazer o cálculo é projetar um vetor sobre o outro para achar a altura do triângulo e daí calcular a área. Outra forma é usar o produto escalar para calcular o ângulo entre os vetores e daí usar a fórmula da norma do produto vetorial. Mas como um paralelogramo é formado por dois triângulos de mesma área podemos utilizar o produto vetorial como se segue:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix}\right| & = 3\overrightarrow{e}_x - 3\overrightarrow{e}_y + 1\overrightarrow{e}_z \\ \\ ||(3,-3,1)|| & = \sqrt{19} \end{align*} }[/math]
Portanto, área ABC é [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{19}}{2} }[/math]
- Dados [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (1,1,1) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (0,1,2) }[/math], ache uma base ortonormal positiva [math]\displaystyle{ \{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\} }[/math], tal que
- [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a}||\overrightarrow{u} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} }[/math] tem o mesmo sentido de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math];
- [math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} }[/math] é combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e sua primeira coordenada é positiva.
Normalizando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right) }[/math]
Calculando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} = (x,y,z) }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align*} & \begin{cases} (x,y,z) \cdot (1,1,1) & = 0 \\ (x,y,z) & = \alpha(1,1,1) + \beta(0,1,2) \end{cases} \\ & \\ & \begin{cases} x + y + z & = 0 \\ x & = \alpha \\ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } y & = \alpha + \beta \\ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } z & = \alpha + 2\beta \end{cases} \end{align*} }[/math]
O sistema tem cinco incógnitas e quatro equações. Portanto, uma variável livre. No sistema, as incógnitas x, y e z já estão isoladas, então basta substituir na primeira equação para achar [math]\displaystyle{ \alpha = -\beta }[/math] e daí [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ x = -\beta }[/math] e [math]\displaystyle{ z = \beta }[/math]. Isso significa que o vetor solução do sistema é da forma [math]\displaystyle{ (-\beta, 0, \beta) }[/math]. Porém, como a primeira coordenada deve ser positiva, invertemos o sinal do vetor para [math]\displaystyle{ (\beta, 0, -\beta) }[/math] (um vetor paralelo ao vetor solução continua sendo solução). [math]\displaystyle{ \beta }[/math] é variável livre, então podemos atribuir a ela qualquer valor para definir o vetor desejado [math]\displaystyle{ (1,0,-1) }[/math] por exemplo.
Normalizando o vetor encontramos:
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) }[/math]
O terceiro vetor pode ser encontrado com o produto vetorial dos dois primeiros (o produto foi feito com os vetores não normalizados para simplificar as contas):
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{matrix}\right| & = -\overrightarrow{e}_x + 2\overrightarrow{e}_y - \overrightarrow{e}_z \\ & = (-1,2,-1) \end{align*} }[/math]
Normalizando o vetor encontrado:
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{c} = \left(-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) }[/math]
Nota: pela regra da mão direita, se o terceiro vetor é o produto do primeiro com o segundo a orientação é positiva. Se invertessemos a ordem do produto vetorial obeteríamos uma base negativa.
Há uma outra forma de resolução que é utilizar o algoritmo de Gram-Schmidt, que normalmente é visto em álgebra linear junto com o produto interno.
- Resolva o sistema
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \overrightarrow{x} \cdot (2\overrightarrow{e}_x + 3\overrightarrow{e}_y + 4\overrightarrow{e}_z) = 9 \\ \overrightarrow{x} \times (\overrightarrow{e}_x - \overrightarrow{e}_y + \overrightarrow{e}_z) = -2\overrightarrow{e}_x + 2\overrightarrow{e}_z \end{cases} }[/math]
Começamos definindo um vetor com coordenadas desconhecidas: [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = (a,b,c) }[/math]
Primeiro vamos expressar as coordenadas do produto vetorial:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ a & b & c \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right| & = (-b - c)\overrightarrow{e}_x - (c - a)\overrightarrow{e}_y + (a + b)\overrightarrow{e}_z \end{align*} }[/math]
Depois resolver o sistema (caso tenha se perdido, lembre-se de como se calcula o produto escalar):
[math]\displaystyle{ \begin{cases} 2a + 3b + 4c & = 9 \\ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } -b - \text{ }c & = -2 \\ a \text{ }\text{ }\text{ }- \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }c & = 0 \\ a \text{ }\text{ }+ \text{ }\text{ }b & = 2 \end{cases} }[/math]
Que resulta em a = b = c = 1 e portanto, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = (1,1,1) }[/math] ou [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{e}_x + \overrightarrow{e}_y + \overrightarrow{e}_z }[/math].
- Ache [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] tal que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} \times (\overrightarrow{e}_x + \overrightarrow{e}_z) = 2(\overrightarrow{e}_x + \overrightarrow{e}_y - \overrightarrow{e}_z) }[/math], e [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{x}|| = \sqrt{6} }[/math]
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = (a,b,c) }[/math]
Temos o sistema:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \overrightarrow{x} \times (\overrightarrow{e}_x + \overrightarrow{e}_z) & = 2(\overrightarrow{e}_x + \overrightarrow{e}_y - \overrightarrow{e}_z) \\ \\ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} & = \sqrt{6} \end{cases} }[/math]
Primeiro vamos expressar as coordenadas do produto vetorial:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ a & b & c \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}\right| & = b\overrightarrow{e}_x -(a - c)\overrightarrow{e}_y + (a - b)\overrightarrow{e}_z \end{align*} }[/math]
Depois resolver o sistema:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} a^2 + b^2 + c^2 & = 6 \\ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } b & = 2 \\ -a \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } +c & = 2 \\ a - \text{ }b & = -2 \end{cases} }[/math]
(não substitua b na quarta equação, fazendo isso você estará resolvendo um sistema ignorando a primeira equação)
Isolando [math]\displaystyle{ c }[/math] e substituindo na primeira equação obtemos a equação quadrática [math]\displaystyle{ 2a^2 + 4a + 2 = 0 }[/math], cuja solução é [math]\displaystyle{ -1 }[/math]. Daí conclui-se que [math]\displaystyle{ c = \pm 1 }[/math]. Encontramos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = (-1,2,1) }[/math] ou [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = (-1,2,-1) }[/math]. Porém, o último caso para [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] não verifica a equação vetorial do enunciado, portanto, é descartado. Apenas [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = -\overrightarrow{e}_x + 2\overrightarrow{e}_y + \overrightarrow{e}_z }[/math] verifica a equação dada.
- Prove que se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0} }[/math] então,
- [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} = 3(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) }[/math]
Para o primeiro caso vamos fazer o produto vetorial por [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] em ambos os lados da equação (se os vetores em ambos os lados da equação são iguais, então fazer o produto por um mesmo vetor mantem a igualdade):
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) & = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} & = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} & = -\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} & = \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} \end{align*} }[/math]
Agora o produto vetorial por [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] em ambos os lados da equação:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{v} \times (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) & = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} & = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} & = -\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} & = \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} & = \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \end{align*} }[/math]
Comparado os dois desenvolvimentos anteriores fica provado que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} }[/math]
Foram utilizadas as propriedades distributiva pela adição, o produto de um vetor pelo nulo é nulo, o produto de dois vetores iguais é nulo e trocar a ordem do produto troca o sinal do vetor.
Interpretação geométrica: Os vetores dados são LD e, portanto, formam um triângulo no plano. Se calcularmos a norma do produto vetorial feito dois a dois sempre obteremos a mesma área de um paralelogramo, que dividido ao meio sempre terá a área do triângulo.
Uma observação: os vetores são LD, mas não sabemos e não temos informações para saber se temos 3 pontos colineares ou não. Ambas as possibilidades cabem.
O segundo caso é consequência direta do primeiro:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} = 3(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) \\ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = 3(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) \end{align*} }[/math]
- Prove que se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] são linearmente independentes e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math], então [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0} }[/math]. Interprete geometricamente.
Da igualdade vem (aplicando a propriedade distributiva pela adição):
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} - \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{v} & = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{w} \times (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) & = \overrightarrow{0} \end{align*} }[/math]
A equação é válida apenas se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0} }[/math] ou se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w}||(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) }[/math].
Interpretação geométrica: os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] determinam retas concorrentes pois são LI. Se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] determinasse uma reta, só haveria a possibilidade de anular o produto vetorial se esta reta fosse simultaneamente paralela às retas determinadas por [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math], o que é impossível. Conclui-se que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0} }[/math] e que, portanto, não determina uma reta.
- Prove que se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math], então [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math] ou [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math]. Interprete geometricamente.
Se o produto vetorial é nulo, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \alpha \overrightarrow{u} }[/math] ou um dos vetores é nulo
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{u} \times (\alpha \overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0} \iff \alpha (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0} }[/math]
Logo:
[math]\displaystyle{ \alpha (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}) = 0 \iff \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math]
Repete-se o mesmo procedimento para concluir que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math]
Raciocínio alternativo usando a Identidade de Lagrange:
[math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}||^2 ||\overrightarrow{v}||^2 - (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 = ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}||^2 }[/math]
Como [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align*} ||\overrightarrow{u}||^2 ||\overrightarrow{v}||^2 & = ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}||^2 & \iff \\ ||\overrightarrow{u}|| ||\overrightarrow{v}|| & = ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|| & \iff \\ ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}|| & = ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\text{ sen} \frac{\pi}{2} & \iff \end{align*} }[/math]
Mas isso entra em contradição com a hipótese de que os vetores são paralelos segundo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math]. Como [math]\displaystyle{ \text{sen} \frac{\pi}{2} = 1 }[/math], temos que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math] ou [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math].
Interpretação geométrica: os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] determinam duas retas e elas não podem ser simultaneamente paralelas e perpendiculares.
- Prove que a altura do ΔABC relativa ao lado AB mede [math]\displaystyle{ h = \frac{||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}||}{||\overrightarrow{AB}||} }[/math].
A área do triângulo é dada por: [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{AB}||\frac{h}{2} }[/math]
Mas: [math]\displaystyle{ h = ||\overrightarrow{AC}|| \text{ sen } \theta }[/math]
[math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{AB}||||\overrightarrow{AC}|| \text{ sen } \theta = ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|| }[/math] é o dobro da área do triângulo. Então, substituindo:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} ||\overrightarrow{AB}||\frac{h}{2} & = \frac{1}{2}||\overrightarrow{AB}||||\overrightarrow{AC}|| \text{ sen } \theta \iff \\ h & = \frac{||\overrightarrow{AB}||||\overrightarrow{AC}|| \text{ sen } \theta}{||\overrightarrow{AB}||} \\ \therefore \\ h & = \frac{||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}||}{||\overrightarrow{AB}||} \end{align*} }[/math]
- Prove que [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}||^2 \le ||\overrightarrow{u}||^2||\overrightarrow{v}||^2 }[/math]
Pela fórmula da norma do produto vetorial:
[math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2||\overrightarrow{v}||^2 \text{ sen}^2 \theta }[/math]
Como [math]\displaystyle{ \text{ sen}^2 \theta }[/math] esta no intervalo [0, 1] a inequação é verdadeira para quaisquer [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Onde θ é o ângulo entre os vetores.
Ou, pela Identidade de Lagrange:
[math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}||^2||\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}||^2 + (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 }[/math]
Como [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 \ge 0 }[/math] a inequação tambem é confirmada.
- Prove que [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = 2(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) }[/math]
Basta aplicar a propriedade distributiva:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v} & = \\ - \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} & = \\ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} & = \\ 2(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) \end{align*} }[/math]
Interpretação geométrica: [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) }[/math] e [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) }[/math] são as diagonais de um paralelogramo formado quando somamos os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Fazendo o produto vetorial obtemos um vetor que tem no seu comprimento a medida de uma área que é o dobro da área do paralelogramo formado pela soma de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math].
- Prove que [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \times (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} }[/math]
Basta aplicar a propriedade distributiva:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} & = \\ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} & = \\ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} \end{align*} }[/math]
- Prove que [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}) + (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{u}) + (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = 2(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u}) }[/math]
Desenvolvendo os produtos vetoriais em separado:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}) & = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} - \overrightarrow{t} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{t} \times \overrightarrow{w} \\ \\ (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{u}) & = \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u} - \overrightarrow{t} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{t} \times \overrightarrow{u} \\ \\ (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) & = \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} - \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{v} - \overrightarrow{t} \times \overrightarrow{u} + \overrightarrow{t} \times \overrightarrow{v} \end{align*} }[/math]
Somando todas as equações (os termos com [math]\displaystyle{ \overrightarrow{t} }[/math] são cancelados):
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}) + (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{u}) + (\overrightarrow{w} - \overrightarrow{t}) \times (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) & = 2(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) + 2(\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u}) + 2(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) \\ & = 2(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u}) \end{align*} }[/math]
- Dados [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (1,-\frac{3}{2},\frac{1}{2}) }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (6,-2,-4) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = (\frac{1}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7}) }[/math]. Calcule [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{w} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) }[/math].
Primeiro caso
Primeiro usando a fórmula do duplo produto vetorial:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} & = -\frac{1}{14} \\ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} & = -\frac{10}{7} \end{align*} }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{align*} -\frac{1}{14}(6,-2,-4) - \left(-\frac{10}{7}\right)\left(1,-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right) & = (1,-2,1) \end{align*} }[/math]
Agora sem usar a fórmula:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} & = \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ 1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 6 & -2 & -4 \end{matrix}\right| = 7\overrightarrow{e}_x + 7\overrightarrow{e}_y + 7\overrightarrow{e}_z \\ \\ (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{w} & = \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ 7 & 7 & 7 \\ \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \end{matrix}\right| = \overrightarrow{e}_x - 2\overrightarrow{e}_y + \overrightarrow{e}_z \end{align*} }[/math]
Segundo caso
Primeiro usando a fórmula do duplo produto vetorial:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} & = -\frac{1}{14} \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & = 7 \end{align*} }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{align*} -\frac{1}{14}(6,-2,-4) - 7\left(\frac{1}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7}\right) = \left(-\frac{10}{7},-\frac{13}{7},-\frac{19}{7}\right) \end{align*} }[/math]
Agora sem usar a fórmula:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} & = \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ 6 & -2 & -4 \\ \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \end{matrix}\right| = \frac{2}{7}\overrightarrow{e}_x - \frac{22}{7}\overrightarrow{e}_y + 2\overrightarrow{e}_z \\ \\ \overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) & = \left|\begin{matrix} \overrightarrow{e}_x & \overrightarrow{e}_y & \overrightarrow{e}_z \\ 1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{7} & -\frac{22}{7} & 2 \\ \end{matrix}\right| = -\frac{10}{7}\overrightarrow{e}_x - \frac{13}{7}\overrightarrow{e}_y - \frac{19}{7}\overrightarrow{e}_z \end{align*} }[/math]
