Exercícios de conjuntos geradores
Algumas perguntas naturais após estudar os subespaços vetoriais: dado um subespaço vetorial, como saber quem gera aquele subespaço? Dados dois conjuntos geradores, eles geram um mesmo subespaço?
Os exemplos a seguir lidam com essas e outras questões.
Alguns exercícios dão um conjunto pertencente ao um espaço e definem um subespaço. Nesses casos o conjunto gerador contem vetores que geram o subespaço definido, não o espaço do próprio conjunto, a menos que o espaço e o subespaço sejam iguais.
Encontre um conjunto gerador para [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math].
Um vetor de [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] pode ser escrito como combinação linear de dois vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_x }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_y }[/math], portanto
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (a, b) = & \text{ } a \overrightarrow{e}_x + b \overrightarrow{e}_y \\ = & \text{ } a(1,0) + b(0,1) \\ = & \text{ } (a,0) + (0,b) \\ = & \text{ } (a,b) \end{align*} }[/math]
Então: [math]\displaystyle{ \text{S} = [\overrightarrow{e}_x, \overrightarrow{e}_y] }[/math] é um conjunto gerador de [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]
Caso os vetores não tenham ficado claros: são dois vetores LI e o modo mais fácil de pensar em dois vetores LI que sejam geradores do [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] é pensar em decompor um vetor qualquer em suas componentes, os vetores geradores daquele espaço. Um vetor gerador fundamental terá uma coordenada unitária e as restantes nulas, já que ele não é combinação linear de nenhum outro.
Mudando um pouco o conjunto. [math]\displaystyle{ \mathbb{V} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x = y\} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (x,y) = & \text{ } (x,x) \\ = & \text{ }x(1,1) \\ \overrightarrow{v} = & \text{ } (1,1) \end{align*} }[/math]
Então: [math]\displaystyle{ \text{S} = [\overrightarrow{v}] }[/math] é um conjunto gerador de [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math]. Geometricamente o subespaço gerado é uma reta que passa pela origem.
Caso o vetor não tenha ficado claro: [math]\displaystyle{ x = y }[/math] é o mesmo que [math]\displaystyle{ x - y = 0 }[/math]. Por sua vez isso é o mesmo que dizer que ambas as coordenadas do vetor são iguais, então qualquer número não nulo serve, não apenas o um.
Estendendo o exercício para [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]. [math]\displaystyle{ \mathbb{V} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x + y + z = 0 \} }[/math]
Como o conjunto é um subespaço vetorial, temos que [math]\displaystyle{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \iff x + y + z = 0 }[/math]. Então [math]\displaystyle{ x = - y - z }[/math]. Logo, [math]\displaystyle{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 }[/math] equivale a
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (x,y,z) = & \text{ } (y - z, y, z) \\ = & \text{ } y(1,1,0) + z(-1,0,1) \\ \end{align*} }[/math]
Assim: [math]\displaystyle{ \text{S} = [(0,1,0), \; (-1,0,1)] }[/math] é um conjunto gerador de [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math]. Geometricamente o subespaço gerado é um plano que passa pela origem.
Caso os vetores não tenham ficado claros: todo vetor que pertença ao subespaço obedece à regra dada, a soma de suas coordenadas é nula. Podemos então dizer que a coordenada [math]\displaystyle{ x }[/math] é igual a [math]\displaystyle{ - y - z }[/math] (poderíamos isolar [math]\displaystyle{ y }[/math] ou [math]\displaystyle{ z }[/math], tanto faz). Temos então que o subespaço é gerado por uma combinação linear de [math]\displaystyle{ y }[/math] e de [math]\displaystyle{ z }[/math], pois isolamos o [math]\displaystyle{ x }[/math]. Daí o vetor em [math]\displaystyle{ y }[/math] tem a sua primeira coordenada com um [math]\displaystyle{ y }[/math], a segunda tem um [math]\displaystyle{ y }[/math] e a terceira não tem [math]\displaystyle{ y }[/math]. Por sua vez, o vetor em [math]\displaystyle{ z }[/math] tem a sua primeira coordenada com um [math]\displaystyle{ -z }[/math], a segunda não tem [math]\displaystyle{ z }[/math] e a terceira tem um [math]\displaystyle{ z }[/math]. //Um pequeno cuidado devido à notação [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math]: os dois vetores tem, respectivamente, coeficientes [math]\displaystyle{ y }[/math] e [math]\displaystyle{ z }[/math] que multiplicam as coordenadas de cada um. Mas veja, pelas coordenadas, que não são os vetores fundamentais [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_y }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_z }[/math] (que determinam, respectivamente, os eixos y e z), que teriam, respectivamente, apenas [math]\displaystyle{ y }[/math] e [math]\displaystyle{ z }[/math] como unitárias e as restantes nulas.//
Agora o mesmo exercício em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math]. [math]\displaystyle{ \mathbb{V} = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \; | \; x - y = z + t = 0 \} }[/math]
[math]\displaystyle{ x - y = z + t = 0 }[/math] é o mesmo que [math]\displaystyle{ x = y }[/math] e [math]\displaystyle{ z = -t }[/math], então
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (x,y,z,t) = & \text{ } (x,x,z,-z) \\ = & \text{ } x(1,1,0,0) + z(0,0,1,-1) \end{align*} }[/math]
Assim: [math]\displaystyle{ \text{S} = [(1,1,0,0), \; (0,0,1,-1)] }[/math] é um conjunto gerador de [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math]. Geometricamente é um plano no espaço tetradimensional.
Note que em todos os casos, a resposta dos exercícios não é única. Dependendo de qual variável foi escolhida primeiro, o conjunto gerador muda, embora diferentes conjuntos geradores tenham subespaços sobrepostos, equivalentes entre si.
Encontre um conjunto gerador para [math]\displaystyle{ \text{S} = \{\mathbb{P}_2(\mathbb{R}) \; | \; p(1) = 0\} }[/math]
Um polinômio de grau 2 é da forma [math]\displaystyle{ p(x) = ax^2 + bx + c }[/math], com [math]\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R} }[/math]. Então
[math]\displaystyle{ \begin{align*} p(1) = & \text{ } a1^2 + b1 + c & \iff \\ 0 = & \text{ } a + b + c & \iff \\ c = & \text{ } -a - b & \iff \\ \\ p(x) = & \text{ } ax^2 + bx + (-a - b) & \iff\\ = & \text{ } ax^2 - a + bx - b & \iff \\ = & \text{ } a(x^2 - 1) + b(x - 1) \end{align*} }[/math]
Portanto: [math]\displaystyle{ \text{S} = [x^2 - 1, \; x - 1] }[/math] geram o subespaço dado. Observe que os dois polinômios achados tem a forma de um polinômio de grau menor ou igual a 2 e eles obedecem à regra [math]\displaystyle{ p(1) = 0 }[/math].
Mostrar que os polinômios [math]\displaystyle{ 1 - t, \; (1 - t)^2, \; (1 - t)^3 }[/math] e [math]\displaystyle{ 1 }[/math] geram [math]\displaystyle{ \mathbb{P}_3(\mathbb{R}) }[/math].
Para mostrar que os quatro elementos dados geram o espaço em questão é preciso mostrar que um elemento do espaço, um polinômio de grau 3, é combinação linear dos polinômios dados.
Um polinômio de grau 3 é da forma [math]\displaystyle{ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d }[/math], com [math]\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{R} }[/math]. Então
[math]\displaystyle{ \begin{align*} p(t) = & \text{ } a(1 - t)^3 + b(1 - t)^2 + c(1 - t) + 1d \\ = & \text{ } (-at^3 + 3at^2 - 3at + a) + (-bt^2 + bt + b) + (-ct + c) + 1d \\ = & \text{ } (-a)t^3 + (3a - b)t^2 + (-3a - b)t + (a + b + c + d) \\ \end{align*} }[/math]
Então [math]\displaystyle{ \text{S} = [1, \; 1 - t, \; (1 - t)^2, \; (1 - t)^3] }[/math] gera [math]\displaystyle{ \mathbb{P}_3(\mathbb{R}) }[/math]. Os vetores dados pertencem ao subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3, então qualquer combinação linear entre eles tambem pertencerá ao subespaço.
