Erros cometidos com limites

Sobre os conceitos e cálculos

• O erro mais óbvio é pensar que calcular um limite de uma função é o mesmo que calcular o valor da função naquele ponto. Não é! A função nem mesmo precisa estar definida naquele ponto. Eu tenho um livro que explica assim "o limite de uma função é um certo valor que a função deveria ter naquele ponto para ser contínua"'.

• Outra confusão é entre o limite e os limites laterais. Os limites laterais podem existir ao mesmo tempo em que o limite em si não. Se calcularmos o limite pela esquerda e ele for igual a [math]\displaystyle{ a }[/math], enquanto o limite para direita é igual a [math]\displaystyle{ b }[/math]. [math]\displaystyle{ a \neq b }[/math], então o limite não existe naquele ponto.

• Quando um limite resulta em infinito, isto não é o mesmo que dizer que o limite não existe! O fato do limite resultar em infinito significa que o limite existe é maior do que qualquer número real. Ou menor se for infinito negativo. Quando o limite não existe isto quer dizer que há uma contradição. Dependendo da rota que tomamos para aproximar um certo valor da função obtemos valores diferentes. O que significa que não podemos ter certeza se estamos nos aproximando de um número grande, pequeno ou qualquer outro entre os dois anteriores.
  
  Um erro conceitual relacionado é pensar que o infinito é um valor extremo. Não! Se uma função nunca para de crescer ou decrescer, não temos um máximo global ou um mínimo global para aquela função. Porém pode ser que exista um ponto local que seja um máximo ou um mínimo num certo intervalo.

• Quando aprendemos a integral imprópria há uma situação similar onde estamos avaliando uma integral e uma ou ambas as extremidades são infinito. Não podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo e calcular [math]\displaystyle{ F(\infty) }[/math]. Porém, o que podemos fazer é recorrer aos limites assim [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x \ \rightarrow \ \infty} F(x) }[/math] para realizar a conta. A diferença entre calcular a função no infinito e calcular o limite da função quando [math]\displaystyle{ x \ \to \ \infty }[/math] é bastante sutil!

• Com integrais podemos escrever [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \ dx }[/math]. Porém, [math]\displaystyle{ \lim\limits_{-\infty \ \to \ +\infty} f(x) }[/math] é sem sentido porque não existe um limite calculado sobre um intervalo. Erros assim denotam que as pessoas não entenderam o que estão lendo.

• [math]\displaystyle{ 0.9999... = 1 }[/math]. Há uma falha conceitual muito comum que é pensar que este número não é igual a 1 quando na verdade ele é. Primeiro, a sequência de dígitos é infinita. Segundo, pensar que existe um último dígito da sequência é errado. Os três pontos indicam que não existe um "último número". Quando temos alguma coisa que é infinita, isso significa que não tem fim, não tem máximo ou mínimo, não há um número que represente aquela coisa.

• [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x) + g(x) = L }[/math]. Não podemos fazer isto [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x) = L - g(x) }[/math] porque o limite da soma é a soma dos limites. Isto pode acontecer por causa da ausência dos parêntesis. Se o fizermos, conceitualmente estamos partindo do seguinte pressuposto: [math]\displaystyle{ f(x + 2) = f(x) + 2 }[/math]. Este erro é, em grande parte, causado por coincidências. Porque às vezes operações aleatórias chegam no resultado esperado.

• A técnica do conjugado. Um dos conceitos mais desafiadores dos limites é a divisão por zero. Por quê o limite existe ou por quê podemos realizar operações como multiplicar pelo conjugado para eliminar a divisão por zero? Não há nenhuma bruxaria nisto. A função não esta definida para aquele ponto onde ocorre a divisão por zero. O que fazemos quando calculamos o limite é considerar números que estão extremamente próximos daquele ponto, que é o que nos permite eliminar a divisão por zero porque ela nunca ocorre de fato.

Sobre o próprio [math]\displaystyle{ \infty }[/math]

• Não podemos calcular [math]\displaystyle{ f(\infty) }[/math] para qualquer função porque o infinito não é um número real nem um complexo. Não é nem mesmo um número para começar. É por isto que esta errado dizer que [math]\displaystyle{ f(\infty) = n }[/math] ou [math]\displaystyle{ f(x) = \infty }[/math]. Uma função pode levar um número a outro e o infinito não pode ser levado a um número ou mesmo infinito assim. Porém, o que é possível fazer é calcular limites no infinito.

• Por definição o infinito é maior do que qualquer número real. Se uma soma, limite ou integral vai para infinito, isto significa que não existe um limite para aquele valor. A soma, limite ou integral pode ser tão grande quanto formos capazes de fazê-la. No caso do infinito negativo não há um limite inferior.

• Se uma soma vai para infinito ou precisa de infinitas operações, não podemos realizá-la num tempo finito. Não importa quão rápido pudermos fazer a conta, será necessário um tempo infinito para terminar. Aqui eu assumo que cada operação toma um tempo não nulo. Por menor que seja o intervalo de tempo, ainda assim é impossível calcular qualquer coisa numa velocidade infinita.

• Uma pergunta natural: se compararmos o conjunto dos números reais com o conjunto dos números naturais, um é maior do que o outro? Isto é, um conjunto tem mais elementos do que o outro? Há uma forma de provar que existem mais números reais do que naturais, mas não precisamos desta prova para um curso de cálculo. Ambos os conjuntos, os naturais e os reais, contem uma quantidade infinita de elementos. Como comparar infinito com infinito? Em cálculo não aprendemos isto.

• [math]\displaystyle{ \infty + 1 \gt \infty }[/math] Verdadeiro ou falso? Pode parecer verdadeiro porque adicionar um sempre fazer um número ficar maior. Porém, o infinito não é um número! Então o que significa adicionar um ao infinito? Em alguns exercícios de cálculo lidamos com isto e como uma regra geral, infinito mais um não muda o fato do infinito ainda ser maior do que qualquer número real. Menos um, menos um milhão, menos qualquer número grande, ainda assim continua uma quantidade que não podemos escrever com uma sequência finita de dígitos. É por isto que intervalos que terminam no infinito não podem ser fechados, sempre são abertos. Caso contrário estaríamos tratando o infinito como um número que pode ser alcançado.

• Não há uma definição em cálculo para expressões como [math]\displaystyle{ 1^{\infty} }[/math] ou [math]\displaystyle{ \frac{1}{\infty} }[/math]. Infinito vezes infinito ou qualquer número positivo ou negativo continua infinito. O que podemos fazer com o infinito é calcular somas infinitas ou limites. Outra operação possível é multiplicar o infinito por -1 para trocar o sinal.

• Um conceito difícil de entender sobre o infinito é que uma soma infinita de termos pode resultar numa quantidade finita. É bastante contra-intuitivo porque quando subtraímos infinitos termos, nós esperamos que o resultado seja zero. Ou, se continuarmos a adicionar infinitos termos, o resultado esperado é infinito. Em Cálculo, desde que saibamos o conceito de limite, as contas não devem ser difíceis de serem feitas.

• Subtrair infinito de infinito não resulta em zero. Nem multiplicá-lo por zero resulta em zero. Se partimos do pressuposto que o infinito é um número muito grande, parece natural que qualquer número menos ele mesmo resulte em zero. Como o infinito não é um número não podemos afirmar tal resultado. Suponha que temos duas quantidades diferentes, mas ambas são infinitamente grandes, com uma sendo maior do que a outra. Qual é a diferença entre as duas? Pode ser qualquer coisa, desde o menor número possível até o próprio infinito!

• Uma analogia para pensar sobre o infinito. Pense num universo de super heróis onde há muitos universos. É um multiverso. Não sabemos o tamanho do universo nem se ele é infinito ou não. Se o tamanho for infinito é natural pensar que existem infinitos planetas, estrelas e galáxias dentro dele. Agora suponha que o universo é finito, mas o limite esta localizado muito muito longe. Digamos que a borda do universo esta a 1 trilhão de anos luz de onde você esta. Em relação a uma distância tão grande o que 1 ano luz parece? Mais um, menos um, seria insignificante quando comparado com a sua localização atual. No nosso multiverso de super heróis cada universo tem o seu próprio tamanho. Como comparar o tamanho de cada universo? Se todos são infinitamente grandes, como você pode saber qual deles é maior?