Definindo o gradiente

Para entender corretamente o gradiente é preciso entender vetores e a operação do produto escalar. Quando temos um gradiente de cor o que vemos é que uma extremidade tem uma cor e a outra extremidade outra cor, com um gradiente entre os dois que faz a transição de uma cor até a outra. Na física há muitos tipos de gradientes, como os de temperatura e pressão. Gradientes são importantes porque certos fenômenos dependem de um gradiente forte para acontecerem, como por exemplo as correntes oceânicas e ventos que não ocorrem sem a presença de um grande gradiente de pressão entre dois pontos. Conceitualmente temos uma quantidade que muda de intensidade no espaço e com uma direção específica. Este é o gradiente.

Antes de entrarmos na definição matemática, vamos dar uma olhada num gráfico de curvas de nível:

A taxa de variação sobre o eixo [math]\displaystyle{ x }[/math] é menor do que sobre o eixo [math]\displaystyle{ y }[/math] porque as curvas de nível estão mais próximas na direção do segundo do que no caso do primeiro. Se andarmos sobre uma mesma curva de nível não sentimos nenhuma mudança no valor de [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math]. O que significa que a taxa de variação é zero para qualquer direção paralela à curva de nível. As maiores taxas de variação são observadas quando estamos numa direção perpendicular à uma curva de nível, que corresponde ao menor caminho entre duas curvas de nível. Se a distância entre duas curvas de nível consecutivas for próxima do zero, isto quer dizer que a inclinação da função é próxima de 90°. Caso contrário, se a distância entre elas tender ao infinito, a inclinação esta próxima de 0°.

[math]\displaystyle{ D_xf \cdot a + D_yf \cdot b }[/math]. Olhando novamente para a derivada direcional observe como temos uma soma de termos onde cada um é um produto entre as coordenadas do vetor dado e a derivada parcial para aquela coordenada. Esta fórmula é o produto escalar. Conclusão? Temos dois vetores ali, um é o vetor que nos dá a direção da taxa de variação e o outro é

[math]\displaystyle{ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) }[/math]

Para [math]\displaystyle{ n }[/math] variáveis temos um gradiente com [math]\displaystyle{ n }[/math] coordenadas. O Delta invertido é a letra Nabla, leia-se "del [math]\displaystyle{ f }[/math]".

Podemos reescrever a derivada direcional usando o gradiente da seguinte forma

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(a,b) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) \cdot (a,b) = \nabla f \cdot \overrightarrow{v} }[/math]

O gradiente não é um único vetor, mas uma função que produz vetores (não pontos!) para coordenadas de entrada. Uma função sempre associa uma ou mais entradas com apenas um ponto. O gradiente associa duas ou mais coordenadas com um vetor. Escolhemos um certo ponto [math]\displaystyle{ (x,y, ..., n) }[/math] do domínio da função e o gradiente nos dá um vetor correspondente.

Observação: com funções de uma variável temos o problema de achar a reta tangente ao gráfico da função. Com curvas de nível podemos achar tangentes também, mas isto não é o gradiente! Primeiro, curvas de nível não são funções. Segundo, o gradiente é perpendicular à curva de nível porque ele expressa a taxa de variação de uma curva de nível em direção à outra. Aprendemos sobre as derivadas numa relação com a reta tangente num primeiro momento, o que pode fazer com que algumas pessoas pensem que o gradiente tem relação com achar retas tangentes à uma curva de nível.

Eu vou esclarecer uma confusão entre o que é uma tangente e o que é perpendicular no caso de funções de duas variáveis. O gradiente tem duas coordenadas. Uma curva de nível também tem duas coordenadas. Tanto um quanto a outra estão contidos no mesmo plano. Somente a função em si tem profundidade, a terceira coordenada. O gradiente não pode ser perpendicular ao plano XY, o mesmo plano que contem o domínio da função. Pense sobre o movimento circular. Sempre há um vetor que é tangente e outro que é perpendicular à trajetória, mas ambos tem duas dimensões e são paralelos ao mesmo plano.

Para três ou mais variáveis o gradiente continua com a propriedade de ser perpendicular às superfícies de nível e além porque o produto escalar continua existindo para vetores de [math]\displaystyle{ n }[/math] coordenadas.

Como encontrar uma reta tangente à curva de nível? A resposta para este problema esta em olhar para as curvas de nível e pensar na função de uma variável que pode parcialmente traçá-la. Por exemplo, se uma curva de nível é uma circunferência, podemos facilmente parametriza-la. Ao fazermos isto encontramos [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] e [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] e a partir daí podemos calcular derivadas de uma função de uma variável.