Exercícios de mudança de base

• Escreva a matriz de mudança da base [math]\displaystyle{ \mathcal{E} = (\overrightarrow{e}_x,\overrightarrow{e}_y,\overrightarrow{e}_z) }[/math] para a base [math]\displaystyle{ \mathcal{F} = (\overrightarrow{f}_x,\overrightarrow{f}_y,\overrightarrow{f}_z) }[/math] e exprima o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = -4\overrightarrow{f}_x + \overrightarrow{f}_y - \overrightarrow{f}_z }[/math] em função de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_x }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_y }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_z }[/math], sabendo que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_x = -3\overrightarrow{e}_x + \overrightarrow{e}_y + \overrightarrow{e}_z }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_y = \overrightarrow{e}_x - 2\overrightarrow{e}_y + \overrightarrow{e}_z }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_z = \overrightarrow{e}_x + 2\overrightarrow{e}_y }[/math].

Para encontrar a matriz de mudança de base basta escrever uma matriz com as coordenadas de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_x,\overrightarrow{f}_y,\overrightarrow{f}_z }[/math] na base [math]\displaystyle{ \mathcal{E} }[/math] e transpor essa matriz (cuidado! A ordem dos vetores é importante):

[math]\displaystyle{ M_{EF} = \left[\begin{matrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right] }[/math]

Para encontrar as coordenadas do vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] na base [math]\displaystyle{ \mathcal{E} }[/math] basta multiplicar [math]\displaystyle{ M_{EF} }[/math] por [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\right] }[/math]

Reultado: [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = 12\overrightarrow{e}_x - 8\overrightarrow{e}_y - 3\overrightarrow{e}_z }[/math]

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• Um problema oposto ao anterior: suponha que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = 12\overrightarrow{e}_x - 8\overrightarrow{e}_y - 3\overrightarrow{e}_z }[/math] seja dado e seja pedido [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] em função de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_x }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_y }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_z }[/math].

Para fazer isso precisamos calcular a inversa da matriz de mudança de base:

[math]\displaystyle{ M_{FE} = \left[\begin{matrix} \frac{-2}{11} & \frac{1}{11} & \frac{4}{11} \\ \frac{2}{11} & \frac{-1}{11} & \frac{7}{11} \\ \frac{3}{11} & \frac{4}{11} & \frac{5}{11} \end{matrix}\right] = \frac{1}{11}\left[\begin{matrix} -2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix}\right] }[/math]

Agora procedemos como no exemplo anterior, multiplicamos o vetor pela matriz:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right] = \frac{1}{11}\left[\begin{matrix} -2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 12 \\ -8 \\ -3 \end{matrix}\right] }[/math]

Reultado: [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = -4\overrightarrow{f}_x + \overrightarrow{f}_y - \overrightarrow{f}_z }[/math]