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Eu não tenho um diploma. Eu descobri que aprendo melhor escrevendo este site do que quebrando a cabeça com provas e notas. Eu estava matriculado numa grande universidade almejando um diploma em ciências (da Terra) aplicadas mas não deu certo. Após uma sequências infindável de anos e reprovações, abandonei. Eu tomei a decisão de não dar mais importância a notas e provas, mas um peso maior nas aplicações na vida. Eu diria que muito mais que 50% dos alunos de uma universidade estão tão preocupados com notas e obtenção de créditos que o aprendizado é deixado para trás. Todo semestre a mesma pergunta se repete. Os alunos perguntam entre si "Professa A vai dar a matéria X. Ele(a) é bom? Ele(a) é rigoroso?". Vê? Quase todos os alunos estão mais preocupados com a dificuldade de ser aprovado do que com o aprendizado em si. Há ainda uma questão de ser um cientista vs. ser um professor e nem todos são bons em ambas as funções.
Não estou dizendo que as pessoas devem dispensar um diploma, mas tendo vontade e acesso ao material, qualquer um pode aprender sem a necessidade de esperar que alguém ensine primeiro. Você já parou para pensar que o autor de um livro esta esperando para que as pessoas abram e leiam aquele livro? Há um grande debate por todo o mundo sobre o que ensinar, como, quando e qual método. O que eu percebi é que todos os programas do ensino superior tem a sua própria metodologia, os próprios desafios e ritmo, a própria ordem a ser seguida. A matemática e todas as ciências que dependem da matemática tem a propriedade de serem cumulativas e mais ou menos lineares. Uma pessoa não consegue aprender cálculo se não aprender as operações algébricas mais elementares primeiro. Apesar disto algumas coisas podem ter a sua ordem trocada. Por exemplo as Leis de Newton precisam de cálculo, mas com ambos sendo matérias de primeiro semestre, a física não pode ter um pré-requisito de cálculo a menos que seja postergada para o segundo semestre. No cálculo de funções de múltiplas variáveis alguns conceitos de álgebra linear são usados, mas o cálculo não tem um pré-requisito de álgebra linear. Algumas pessoas podem ser excelentes em cálculo e terem dificuldade com álgebra linear, ou vice-versa. É uma variação natural entre as pessoas.
Eu notei algo com as perguntas feitas em algumas aulas. As pessoas fazem perguntas que o professor responde com "Que?" ou "O que você está perguntando não faz sentido". Quando uma pergunta não faz sentido para o professor, isso significa que ou quem perguntou não entendeu algum conceito ou que a pergunta realmente não faz sentido para quem já sabe aquele assunto. Por exemplo: a função tangente é contínua? Por que a tangente do ângulo reto não existe. Sim, a tangente de 90° resulta numa linha que tende ao infinito. Porém, o ângulo reto não é parte do domínio desta função. Quando traçamos o gráfico de tan(x) não consideramos o ângulo reto.
Quando você lê uma resposta de um exercício tente entender o que você não entendeu ou o que você estava fazendo de errado. Apenas ler e copiar sem pensar não vai levar ao aprendizado. Alguns autores gostam de deixar demonstrações para o leitor fazer, o que costuma ser irritante ou frustrante para algumas pessoas. Se você for fazer a demonstração não encare-a como um peso nas costas ou uma pedra no caminho.
Uma vez eu conversei com um professor após uma aula de cálculo e relatei a minha dificuldade com funções. Não lembro exatamente o quê sobre funções. O professor me disse que alguns matemáticos vão fundo nas funções, mas tão fundo, que acabam se perdendo em teorias matemáticas e perdem a conexão com a realidade. Como se mergulhassem na matemática e não saíssem mais de lá. É um pouco estranho que alguns professores cometem muitos erros nas aulas e uma boa parte é relacionada com álgebra elementar e são os mesmos tipos de erros que as pessoas cometem nas provas. Eu perdi a conta de quantas vezes um professor apagou tudo da lousa porque havia um erro grosseiro ou banal aqui ou ali.
A primeira seção de cada capítulo é dedicada a erros. Eu fiz isso porque há um erro no modo de ensinar matemática e ciências em geral. Na maior parte do tempo os professores focam naquilo que dá certo, porque respostas corretas são uma verdade que é o produto de uma demonstração. O que acontece com o errado ou incorreto? O erro está aí! Há tanta ênfase nas respostas corretas que somos ensinados a ver o mundo como certo ou errado. Demonstrações são vistas como provas inegáveis, enquanto os erros são considerados malignos. O errado é errado porque é errado. Há tanta ênfase em provar que o certo é certo que o errado é deixado de lado, sem explicações. Somos deixados num poço sem fundo onde todas as respostas erradas devem ser descartadas porque são tidas como sem valor. Este é um ponto que eu vejo em que a física, estatística e ciências da computação tem uma vantagem. Se um vetor de força esta apontando na direção errada você pode ver claramente que algo esta errado. Se você calcula a temperatura média num período de 100 anos e o valor é incompatível com os dados reais do mundo, algo esta errado. Se um programa é um jogo e o jogador esta ganhando momento por uma violação do princípio de conservação da energia, algo esta errado nos cálculos e para consertar o erro precisamos saber qual é o erro em primeiro lugar.
Como a física evoluiu ao longo dos séculos? Há uma certa diferença entre a química e a física em relação à matemática. Na física e na química nós temos experimentos e muitas vezes eles dão errado. A partir daí tiramos conclusões. Por exemplo: se tentarmos aplicar as Leis de Newton para explicar o movimento de galáxias e outros objetos, observamos que a teoria não é capaz de prever alguns fenômenos e observamos fenômenos incompatíveis com a teoria. É assim que os cientistas desenvolvem novas teorias para explicar fenômenos que não são explicáveis com os modelos vigentes. Eu vejo uma diferença curiosa quando se trata de medicina e farmácia. Quando algo dá errado ou não funciona há um grande esforço em tentar entender porque aquilo não funciona ou o que deu errado.
Eu posso estar forçando e indo muito longe, mas há uma questão psicológica relacionada a cometer erros. Certamente há professores e alunos que se recusam a admitir erros pelas mais variadas razões. Algumas vezes as pessoas são teimosas e se recusam a mudar os seus modos ou pontos de vista custe o que custar. Assim como também há casos extremos onde a pessoa fica presa num erro, ou ainda o extremo oposto de ignorá-los e nunca aprender. As ciências em geral são rigorosas porque tem que ser assim. Mas ao mesmo tempo a mente das pessoas deve ser flexível para questionar teorias e aceitar que há diferentes soluções para um mesmo problema. Às vezes precisamos pensar além do que é certo ou errado e ter uma visão mais holística para determinados problemas.
Há um outro aspecto relacionado a crenças e erros presente nos livros. Muitos erros de digitação ou erros nas respostas. Eu notei que as pessoas vão em comunidades pedindo ajuda porque elas duvidam dos resultados encontrados por elas mesmas. Eu acho que muita gente crê que os livros nunca estão errados. A mesma coisa acontece em provas. Alguns professores inclusive pedem para o próprio aluno fazer a contagem de pontos das questões porque o professor também pode errar. Eu mesmo já passei por crises de frustração por causa de exercícios com erros nos enunciados ou uma resposta errada no gabarito muitas vezes.
Distúrbios de aprendizagem e saúde mental
A matemática tem a propriedade de ser tanto abstrata quanto concreta. Alguns problemas nascem de interpretações geométricas, enquanto que outros são traduzidos visualizados geometricamente. As duas direções são possíveis. É muito natural que algumas pessoas achem partes da matemática mais fáceis do que outras. Eu disse que a leitura é uma fonte de muitas das dificuldades para aprender matemática. Pode acontecer de uma pessoa não conseguir ler e ao mesmo tempo ter facilidade com fazer contas mentalmente. Também pode acontecer da pessoa ser incapaz de fazer contas aritméticas simples mentalmente.
https://www.researchgate.net/publication/286439968_Dyslexia_in_the_Arab_world
Eu achei artigos (em inglês) que descrevem que a dislexia é dependente do idioma. Há pessoas que são disléxicas num idioma mas não em outro. Estou apenas especulando, mas suponhamos que temos uma lista:
1 - | (uma barra)
2 - || (duas barras)
3 - △ (três lados)
4 - □ (quatro lados)
5 - ⬠ or ☆ (cinco lados)
6 - ⬡ (seis lados)
7 - † (os sete pecados capitais)
8 - ۞ (dois quadrados sobrepostos, Rub el Hizb em Árabe)
9 - 🐈 (um gato tem nove vidas)
0 - Ϲ (lua crescente)
Suponha que uma pessoa é incapaz de fazer esta conta: 1 + 2 = 3. Agora troque a escrita dos números por "| + || = Δ" e a mesma pessoa passa a entender. Isto é dislexia ou tem relação? Não sei. Para a maioria das pessoas a aritmética não é um problema, mas a matemática avançada é. Eu tive um professora de cálculo que disse na correção da prova feita em aula que algumas pessoas escreviam o símbolo "∂" (derivada parcial) espelhado, o que parecia uma letra "G". Eu não sei dizer se isto é um sintoma de dislexia ou não. Pode ter relação com idiomas com escrita da direita para a esquerda como o árabe por exemplo. Eu lembro que na escola em alguma série eu confundia ">" (maior) e "<" (menor) por algum motivo.
https://www.nature.com/articles/news040816-10
https://www.sciencedaily.com/releases/2012/02/120221104037.htm
Há uma tribo indígena da Amazônia que não tem palavras para números. Como isto é possível? Eu não sei, mas mostra que uma vida sem números é possível.
http://www.vega.org.uk/video/programme/301 Emma J. King, uma astrofísica britânica que sofre de discalculia.
A matemática tem uma relação forte com a geometria e as representações visuais. Há pessoas que são muito boas em fazer cálculos e ao mesmo tempo não conseguem desenhar círculos, gráficos de senos ou desenhar um cubo com a projeção ortogonal. Quando estudamos a geometria além das três dimensões não podemos mais visualizar nada, precisamos usar da imaginação e para algumas pessoas isto pode ser muito difícil ou impossível de fazer. Imaginar 4D pode ser fácil para algumas pessoas, mas não para a maioria. Estou apenas especulando, mas eu acho que muitos professores já tiveram alunos que não conseguiam desenhar gráficos de funções ou simples formas geométricas. O contrário também é possível, pessoas que já na idade de alfabetização conseguem desenhar rostos, mãos e outras coisas complexas com muita facilidade. A falha no desenho pode ou não estar associada a déficits no raciocínio matemático e/ou aritmético, mas não sei dizer ao certo. Tais discrepâncias extremas de habilidades certamente existem.
https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fpsyg.2020.01143/full
https://www.nature.com/articles/s41598-021-96876-6
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4884738/
Eu disse que a leitura é um problema, então vem a questão: O que fazer se a pessoa não consegue ler? Não falo sobre analfabetismo, cegueira ou dislexia, mas uma outra barreira que é sobre pessoas que são alfabetizadas ou letradas e mesmo assim não conseguem ler. O problema é a incapacidade de se concentrar, chegando até mesmo a uma recusa de ler. Esta é uma classe de problemas bem complexa que não é diretamente relacionada a compreensão da matemática, mas a uma inaptidão em se adequar ao sistema educacional, escolas ou à própria vida.
O que fazer se os pais proíbem de estudar matemática? Pode parecer absurdo mas às vezes uma família tem crenças rígidas e inflexíveis que incluem uma proibição contra a matemática. A origem de tais crenças é um outro problema e difícil de explicar. O que fazer se há o medo de cometer erros? O que fazer se há o medo de provas e exames? O que fazer se há um perfeccionismo excessivo tomando conta? O que fazer se há o medo de ser chamado? O que fazer se há o medo de fazer perguntas? O que fazer em caso de depressão? O que fazer com traumas? O que fazer com o ego? O que fazer com a arrogância? O que fazer com o orgulho? O que fazer com a vergonha? O que fazer com o preconceito? O que fazer se você não consegue ficar parado lendo por mais do que 5 minutos? O que fazer se você esquece das tarefas com tanta frequência que não se lembra mais nem do que era para ser feito? O que fazer se você não consegue seguir instruções dadas?
Todas estas questões não são diretamente relacionadas a ser ruim de matemática, mas podem ser barreiras duras que impedem o aprendizado, a prática ou ambos. Eu não sei a resposta para todas as questões anteriores, mas as respostas estão em livros sobre emoções, psicologia, ego e alguns tipos de distúrbios. Há também alguns canais especializados com profissionais muito bons discutindo aprendizado, ego, transtornos diversos e emoções.
Somado às questões anteriores há ainda mais um ponto: para aprender matemática é preciso resolver os problemas sozinho, no sentido que é fazendo que se entende a solução do problema. Todos os ramos da ciência compartilham deste fundamento que é aprender resolvendo por si mesmo. Por outro lado a sociedade e as escolas não são feitas para pessoas solitárias que fazem tudo sozinhas. Há competição e também colaboração. Como equilibrar as duas coisas eu não sei. Eu li algumas histórias que descrevem como a competição pode ser boa no sentido de ser um estímulo positivo. Mas o outro lado é a competição predatória que estimula comportamentos e mentalidades derrotistas, auto-culpa e outros vieses negativos. Eu acho que existe um mito no que diz respeito a cientistas gênios solitários. É um problema bem complexo porque envolve fatores culturais, sociais e psicológicos.
Eu vejo inclusive uma contradição na forma com que as faculdades e universidades são criadas e administradas. Há muita pesquisa que é fruto de colaboração. Porém, os professores muitas vezes desconhecem os próprios pares. Digo, o professor A ensina cálculo 1. Ele(a) tem os seus próprios métodos, ritmo e cobrança. Daí vem o professor B que ensina cálculo 2 e muda-se a metodologia, ritmo e cobrança. Há inclusive preconceito no meio. Uma vez eu tive uma professora de álgebra linear que dizia abertamente que dar aula para alunos da química era terrível, uma experiência desastrosa. Ou então professores reclamando que os alunos não aprenderam os pré-requisitos direito. Uma reclamação comum entre os alunos é que o professor A cobra demais e pressiona demais, como se ele(a) não se importasse com a carga que os alunos já tem de outros professores. Apesar disto seria injusto culpar os professores por tudo, porque muitos gostariam de fazer algo melhor mas não sabem como ou o que fazer.
Condições sociais e físicas
Há um problema que eu não posso discordar. É virtualmente impossível aprender sem as mínimas condições necessárias para tal. Sem livros não há leitura. Sem papel e caneta ou lápis não há escrita. Sem um lugar para sentar e estudar não há aulas. Sem luz não dá para fazer nada à noite. Sem água potável e comida não há vida. Se o país, cidade ou estado esta em guerra, que tipo de aprendizado esperar? Nada além de sobrevivência. Você não pode esperar que um milagre vai fazer uma pessoa nascida nas piores condições contrariar toda a lógica e se tornar um cientista gênio ou algo assim.
Política é um tema extremamente controverso. O que dizer se um país bane alguns assuntos das escolas? Ou o contrário, o que dizer se o governo para as pessoas se focarem em algumas áreas? Olhe para as guerras mundiais. Durante aquele período muitos avanços científicos ocorreram devido à guerra. Bibliotecas podem ser proibidas de terem livros de um determinado assunto ou idioma. Estou apenas especulando, mas da mesma forma que as crianças podem ter o aprendizado prejudicado pela falta de livros. O oposto significaria que pode pura curiosidade, livros científicos poderiam atrair mais a atenção simplesmente por serem os únicos livros disponíveis. Ou ainda alguns assuntos despertarem mais o interesse porque o livro consegue uma apresentação melhor do seu conteúdo do que outros livros.
Por último, mas não menos importante, há o viés de gênero. Algumas das maiores universidades do mundo já proibiram mulheres no passado. Mulheres eram proibidas de estudarem matemática ou física por exemplo. É bastante raro achar livros de cálculo, álgebra linear ou física escritos por mulheres por exemplo. É um debate por todo o mundo a questão da igualdade de gênero.
Eu não tenho o poder de estalar os dedos e mudar a realidade. Apenas super vilões com super poderes podem fazer isto. Meu objetivo com este site não é ser uma fonte definitiva de algum assunto. É apenas uma forma de consolidar conhecimento e para usar em referências futuras.
