Gráficos de funções trigonométricas

Eu estou partindo do pressuposto que você sabe ler o ciclo trigonométrico e já sabe como marcar um ponto de uma função no gráfico. Para as três funções trigonométricas básicas o eixo vertical é a razão entre os lados de um triângulo retângulo, enquanto o eixo horizontal é o ângulo em radianos. No caso das funções trigonométricas inversas temos que o Ângulo fica no eixo vertical, enquanto a razão fica no eixo horizontal.

Seno e cosseno tem a mesma aparência. A única diferença é que o seno e o cosseno diferem que [math]\displaystyle{ \sen(0) = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ \cos(0) = 1 }[/math], enquanto [math]\displaystyle{ \sen(\pi/2) = 1 }[/math] e [math]\displaystyle{ \cos(\pi/2) = 0 }[/math]. Ao traçarmos o gráfico sem atenção ao detalhe mencionado anteriormente pode levar à confusão entre um e outro. Por consequência, as contas dão errado.

As ondas do seno e do cosseno

(o desenho foi feito à mão e não tem escala)

Por quê são ondas? Para entender você precisa entender o ciclo trigonométrico. Primeiro, os ângulos da forma como aprendemos a geometria euclidiana, são sempre uma medida entre 0° e 360°. Ou seja, entre zero até uma volta completa no círculo. Qualquer ângulo além desta faixa é apenas um múltiplo de voltas completas ou incompletas. Ângulos negativos não significam "um ângulo menor do que nada" mas apenas refletem o fato de que podemos medir ângulos no sentido inverso no ciclo trigonométrico. Assim também fica explicado porque não precisamos traçar o gráfico além de uma volta completa, porque qualquer valor além de 360° apenas repete o mesmo padrão.

Na escola é comum ensinarem primeiro como se mede um ângulo, depois a relação entre um ângulo e a razão entre os lados de um triângulo retângulo. Por último a trigonometria é combinada com a definição de uma função. Por definição, senos e cossenos levam uma medida, um ângulo, a uma razão entre os lados de um triângulo retângulo. Tanto o ângulo quanto a razão não passam de números, irracionais na maioria das vezes. A função trigonométrica é o que relaciona os dois números mencionados. Qualquer número como 1000 ou 0.3 é tratada como se fossem múltiplos de voltas completas ou incompletas no ciclo trigonométrico para fins de uma função trigonométrica. É por isto que senos e cossenos são ondas que oscilam entre 1 e -1.

Escolha um ponto em qualquer lugar do perímetro do ciclo trigonométrico. Use-o para traçar um triângulo retângulo onde o centro da circunferência é um dos vértices do triângulo. Note que quando você move o ponto escolhido no perímetro no senti horário ou anti-horário, a razão entre qualquer par de lados do triângulo sempre muda. Isto "prova" que o seno e o cosseno não são um gráfico "zig-zag", mas ondas suaves.

Observação: caso você saiba alguma coisa de métodos numéricos e tenha pensando "Posso traçar ondas com parábolas?". Sim, é possível. Mas temos um porém, uma parábola nunca é uma onda. O que fazer? Divida a onda em múltiplos segmentos, cada um sendo um segmento de parábola. Agora temos uma sequência de parábolas, metade para cima e metade para baixo. Porém, parábolas nunca se encaixam perfeitamente na curvatura do seno ou do cosseno.

Um comentário complementando o anterior. Às vezes as pessoas fazem uma associação entre o seno e o cosseno, relacionando o ciclo trigonométrico com as ondas do gráfico. Cuidado! As ondas do seno e do cosseno não são meias-circumferências! Uma parábola pode ser deformada de tal modo que ela se transforma numa meia-circumferência. Mas para fazê-lo precisamos de alguns conceitos da geometria analítica. Eu tenho uma teoria quanto a isto. A confusão parece surgir porque o ciclo trigonométrico pode, erroneamente, ser interpretado como se fosse um gráfico de uma função. Na melhor das hipóteses uma função desenha metade de um círculo. A maioria dos livros de cálculo menciona o "teste da linha vertical" para diferenciar um gráfico de uma função de um gráfico de uma equação que não representa uma função.

A tangente

Vamos mover [math]\displaystyle{ p }[/math] para uma posição que esta associada com o ângulo de 45°. Somente com isto ganhamos dois valores "de graça", sem fazer nenhuma conta. [math]\displaystyle{ \theta^{\circ} = 45^{\circ} }[/math] porque, na geometria euclidiana, a soma de todos os ângulos internos de um triângulo sempre é igual a 180°. O outro valor que temos é [math]\displaystyle{ a = r }[/math]. Pois sabemos que temos um triângulo com dois ângulos iguais a 45°. A única conclusão possível é a de que o triângulo é isósceles. A linha que tangencia o círculo em [math]\displaystyle{ p }[/math] é única, não existe outra. Além disto, esta linha coincide com o lado [math]\displaystyle{ a }[/math]. Há ainda mais um fato sobre o triângulo na figura. A razão [math]\displaystyle{ r/a = a/r = 1 }[/math] coincide com o comprimento do lado [math]\displaystyle{ a }[/math]. Agora [math]\displaystyle{ r }[/math] é uma constante e igual a um, é muito mais fácil de calcular [math]\displaystyle{ a/1 = a }[/math] para todos os ângulos do que o inverso disto.

Agora desloque [math]\displaystyle{ p }[/math] no sentido anti-horário e perto do ângulo nulo (mas mantenha a tangente perpendicular ao raio!). O que acontece com [math]\displaystyle{ a }[/math]? O seu comprimento se aproxima de zero. Desloque [math]\displaystyle{ p }[/math] no sentido horário e próximo ao ângulo reto. O que acontece com [math]\displaystyle{ a }[/math]? O seu comprimento aumenta tanto se chegarmos ao ângulo reto, [math]\displaystyle{ a }[/math] vai para infinito. Ou seja, a tangente de 90° não existe. Outra forma de visualizar este fato: qual é a tangente a uma superfície perfeitamente plana? Seria uma linha que é paralela ao plano (estamos tratando aqui de uma trajetória retilínea, não de uma parábola), mas neste caso ou a linha esta contida no plano ou não toca o plano em nenhum ponto. Com esta contradição contradição fica claro que a tangente de 90° não existe.

With sines and cosines we saw that the sides of the triangle never go beyond 1 unit, the triangle is always inside the unit circle. With tangent, however, the triangle has sides crossing the unit circle. Therefore, the graph won't be a wave limited by 1 and -1. For angles very close to 90° and 270° the graph is going to extend to almost vertical lines. For angles close to 0° or 180° it's going to be a curve, not a straight line, until it reaches zero. It's a function that associates the angle with the length of [math]\displaystyle{ a }[/math]. That's nothing new because sine and cosine are defined as relationships between angles and lengths of triangle's sides.

In case you wondered, there is another way to see the relationship between angles, sides and the tangent. Let's look at the same triangle that we had for sines and cosines and think on the ratio rise / run. For 45° it's pretty easy to see that rise = run. For 0° we have that [math]\displaystyle{ \sin(0) / \cos(0) = 0 }[/math]. For 90° we have that [math]\displaystyle{ \sin(\pi/2) = 1 }[/math] and [math]\displaystyle{ cos(\pi/2) = 0 }[/math] and we can't divide by zero. In other words, tangent is also a sin / cos ratio.