Derivadas das funções trigonométricas: Difference between revisions

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Tanto o seno quanto a tangente trocam o sinal das suas respectivas taxas de variação quando a função é zero. O ponto onde o seno é máximo é o ponto onde o cosseno é zero. O contrário também é verdade, onde o cosseno é máximo é onde o seno é zero. O ponto onde o cosseno e o seno se cruzam corresponde ao ângulo <math>\pi / 4</math> no ciclo trigonométrico. O ponto onde a tangente e o cosseno se cruzam corresponde ao ângulo <math>3 \pi / 4</math>.
Tanto o seno quanto a tangente trocam o sinal das suas respectivas taxas de variação quando a função é zero. O ponto onde o seno é máximo é o ponto onde o cosseno é zero. O contrário também é verdade, onde o cosseno é máximo é onde o seno é zero. O ponto onde o cosseno e o seno se cruzam corresponde ao ângulo <math>\pi / 4</math> no ciclo trigonométrico. O ponto onde a tangente e o cosseno se cruzam corresponde ao ângulo <math>3 \pi / 4</math>.


Seno e cosseno são funções idênticas com a exceção das suas raízes que diferem por um ângulo de <math>\pi / 2</math>. Temos que <math>\sen(x + \pi / 2) = \cos(x)</math> e <math>cos(x - \pi / 2) = \sen(x)</math>. O fato de ambas as funções poderem ser uma sobreposta à outra é o que precisamos para provar que o cosseno é a derivada do seno.
Seno e cosseno são funções idênticas com a exceção das suas raízes que diferem por um ângulo de <math>\pi / 2</math>. Temos que <math>\text{sen}(x + \pi / 2) = \cos(x)</math> e <math>cos(x - \pi / 2) = \text{sen}(x)</math>. O fato de ambas as funções poderem ser uma sobreposta à outra é o que precisamos para provar que o cosseno é a derivada do seno.


<math>\lim_{h \ \to \ 0} \sen(x) = \frac{\sen(x + h) - \sen(x)}{h}</math>
<math>\lim_{h \ \to \ 0} \text{sen}(x) = \frac{\text{sen}(x + h) - \text{sen}(x)}{h}</math>


Mais de uma identidade trigonométrica pode ajudar aqui. Eu vou usar a identidade que expressa a diferença de senos como um produto de senos e cossenos. A ideia é que o seno e o cosseno ''"desaparecem"'' em certos ângulos, porque acabamos multiplicando pelo zero ou por um dependendo do ângulo:
Mais de uma identidade trigonométrica pode ajudar aqui. Eu vou usar a identidade que expressa a diferença de senos como um produto de senos e cossenos. A ideia é que o seno e o cosseno ''"desaparecem"'' em certos ângulos, porque acabamos multiplicando pelo zero ou por um dependendo do ângulo:


<math>= \frac{2 \sen \left(\frac{h}{2}\right) \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right)}{h}</math> ''(o limite do produto é o produto dos limites)''
<math>= \frac{2 \text{sen} \left(\frac{h}{2}\right) \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right)}{h}</math> ''(o limite do produto é o produto dos limites)''


<math>= 2 \lim_{h \ \to \ 0} \frac{\sen(h/2)}{h/2} \lim_{h \ \to \ 0} \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right) \frac{1}{2}</math> ''(podemos mover a constante para fora do limite e multiplicar o limite pelo inverso da constante para manter o mesmo resultado)''
<math>= 2 \lim_{h \ \to \ 0} \frac{\text{sen}(h/2)}{h/2} \lim_{h \ \to \ 0} \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right) \frac{1}{2}</math> ''(podemos mover a constante para fora do limite e multiplicar o limite pelo inverso da constante para manter o mesmo resultado)''


<math>= 2 \frac{1}{2} \cos(x)</math> ''(a identidade trigonométrica fundamental é igual a um)''
<math>= 2 \frac{1}{2} \cos(x)</math> ''(a identidade trigonométrica fundamental é igual a um)''
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'''Observação:''' alguém pode ter perguntado sobre a derivada do produto não ser o produto das derivadas. O que ocorreu no começo foi que começamos sim com uma derivada, mas o seno foi reescrito como um produto de seno por cosseno. Não estávamos querendo calcular a derivada do produto. Foi apenas uma substituição.
'''Observação:''' alguém pode ter perguntado sobre a derivada do produto não ser o produto das derivadas. O que ocorreu no começo foi que começamos sim com uma derivada, mas o seno foi reescrito como um produto de seno por cosseno. Não estávamos querendo calcular a derivada do produto. Foi apenas uma substituição.


Para a prova de <math>\cos'(x) = -\sen(x)</math> a ideia é a mesma. Começamos com um limite e temos que usar alguma identidade trigonométrica para alcançar o resultado.
Para a prova de <math>\cos'(x) = -\text{sen}(x)</math> a ideia é a mesma. Começamos com um limite e temos que usar alguma identidade trigonométrica para alcançar o resultado.


Para a prova de <math>\tan'(x) = \sec^2(x)</math> podemos usar <math>\tan(x) = \frac{\sen(x)}{\cos(x)}</math> e prosseguir daí.
Para a prova de <math>\tan'(x) = \sec^2(x)</math> podemos usar <math>\tan(x) = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}</math> e prosseguir daí.


Todas as demonstrações não são nada além de manipulações algébricas originárias do ciclo trigonométrico.
Todas as demonstrações não são nada além de manipulações algébricas originárias do ciclo trigonométrico.

Latest revision as of 03:30, 5 February 2025

As derivadas das funções trigonométricas são todas relacionadas à identidades trigonométricas. Vamos traçar o seno, cosseno e a tangente num mesmo espaço:

Tanto o seno quanto a tangente trocam o sinal das suas respectivas taxas de variação quando a função é zero. O ponto onde o seno é máximo é o ponto onde o cosseno é zero. O contrário também é verdade, onde o cosseno é máximo é onde o seno é zero. O ponto onde o cosseno e o seno se cruzam corresponde ao ângulo [math]\displaystyle{ \pi / 4 }[/math] no ciclo trigonométrico. O ponto onde a tangente e o cosseno se cruzam corresponde ao ângulo [math]\displaystyle{ 3 \pi / 4 }[/math].

Seno e cosseno são funções idênticas com a exceção das suas raízes que diferem por um ângulo de [math]\displaystyle{ \pi / 2 }[/math]. Temos que [math]\displaystyle{ \text{sen}(x + \pi / 2) = \cos(x) }[/math] e [math]\displaystyle{ cos(x - \pi / 2) = \text{sen}(x) }[/math]. O fato de ambas as funções poderem ser uma sobreposta à outra é o que precisamos para provar que o cosseno é a derivada do seno.

[math]\displaystyle{ \lim_{h \ \to \ 0} \text{sen}(x) = \frac{\text{sen}(x + h) - \text{sen}(x)}{h} }[/math]

Mais de uma identidade trigonométrica pode ajudar aqui. Eu vou usar a identidade que expressa a diferença de senos como um produto de senos e cossenos. A ideia é que o seno e o cosseno "desaparecem" em certos ângulos, porque acabamos multiplicando pelo zero ou por um dependendo do ângulo:

[math]\displaystyle{ = \frac{2 \text{sen} \left(\frac{h}{2}\right) \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right)}{h} }[/math] (o limite do produto é o produto dos limites)

[math]\displaystyle{ = 2 \lim_{h \ \to \ 0} \frac{\text{sen}(h/2)}{h/2} \lim_{h \ \to \ 0} \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right) \frac{1}{2} }[/math] (podemos mover a constante para fora do limite e multiplicar o limite pelo inverso da constante para manter o mesmo resultado)

[math]\displaystyle{ = 2 \frac{1}{2} \cos(x) }[/math] (a identidade trigonométrica fundamental é igual a um)

Observação: alguém pode ter perguntado sobre a derivada do produto não ser o produto das derivadas. O que ocorreu no começo foi que começamos sim com uma derivada, mas o seno foi reescrito como um produto de seno por cosseno. Não estávamos querendo calcular a derivada do produto. Foi apenas uma substituição.

Para a prova de [math]\displaystyle{ \cos'(x) = -\text{sen}(x) }[/math] a ideia é a mesma. Começamos com um limite e temos que usar alguma identidade trigonométrica para alcançar o resultado.

Para a prova de [math]\displaystyle{ \tan'(x) = \sec^2(x) }[/math] podemos usar [math]\displaystyle{ \tan(x) = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} }[/math] e prosseguir daí.

Todas as demonstrações não são nada além de manipulações algébricas originárias do ciclo trigonométrico.

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