Erros cometidos com álgebra

Muitos dos erros cometidos em Cálculo se originam em erros de álgebra. Quase todos os livros de cálculo tem no começo uma parte dedicada às propriedades dos números reais. Não é preciso fazer todas as demonstrações. Mas é importante lê-las pelo menos uma vez porque muitos dos erros cometidos em operações com funções frequentemente se originam em erros com operações com os números reais.

Há um problema, que eu não sei a causa, nas escolas que é dar propriedades sem demonstrações. Alguns professores sabem disso e fazem as demonstrações, mas muitos outros professores não. Quando se chega em cálculo e álgebra linear as pessoas são obrigadas a encarar demonstrações e não sabem por onde começar. Foi exatamente o meu problema e o de 75% dos colegas que conheci.

Nota: Estou escrevendo mais com palavras do que com símbolos matemáticos porque é mais rápido de digitar e porque muitas pessoas não conhecem todos os símbolos.

Sobre radianos

• Radianos vs graus. Eu acredito que a maior parte da confusão é causada pelo simples fato de que radianos e graus são números. Ângulos são números. Nas funções não trigonométricas pensamos no [math]\displaystyle{ x }[/math] como uma distância a partir da origem. Graus são mais comuns porque são inteiros e mais fáceis de ler do que números irracionais. O problema é que um grau é uma medida completamente arbitrária. Um círculo pode ser dividido em quantas fatias se desejar. 10, 50, 100, não importa. [math]\displaystyle{ \sqrt{1^{\circ}} }[/math] não tem sentido por exemplo. O que um radiano faz é estabelecer a relação entre um ângulo e uma unidade fundamental, o [math]\displaystyle{ \pi }[/math] no caso. Podemos comparar o [math]\displaystyle{ \pi }[/math] com [math]\displaystyle{ \sqrt{-1} = i }[/math] no caso dos números complexos. Aí é que esta o problema. Toda calculadora ou programa de computador segue um padrão para ler o número e entendê-lo como graus ou radianos. Em aulas de cálculo numérico os professores ficam bravos porque as pessoas frequentemente esquecem deste detalhe e entram com números para fazer contas pensando que a calculadora esta lendo graus, quando na verdade o padrão mais comum é ler como radianos.

• Radians vs. Degrees vs. arcminutes. This is not so important for calculus because in physics and calculus we rarely use arcminutes. Arcminutes are more common when we have problems regarding astronomy or navigation. The thing is, clocks rotate clockwise, while the unit circle is anti-clockwise. Not only that, one full turn is either 60 seconds, 60 minutes or 12 hours in a regular clock. One full turn is 360°. By definition, 1° = 60 arcminute. There is the problem, 360° is not 60 arcminutes and 1 arcminute is not the same as the angle of 1 minute in a regular clock.