View source for Exercícios de posição relativa entre retas e planos

* Estude a posição relativa de ''r'' e <math>\pi</math> e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção ''P''.
* <math>r: \text{X} = (1,1,0) + \lambda (0,1,1)</math> e <math>\pi: x - y - z = 2</math>


É imediato ver que o ponto origem da reta não pertence ao plano, então a reta ou é paralela ou transversal ao plano. Para saber se existe intersecção precisamos da equação do plano na forma paramétrica. Um modo de encontrar dois vetores diretores do plano é aleatoriamente escolher dois pontos pertencentes ao plano, a partir deles formar um vetor e calcular o produto vetorial com o vetor normal ao plano para encontrar um segundo vetor diretor. Ou, um modo mais simples, escolher três pontos não colineares para formar dois vetores diretores ''(existem infinitas triplas x, y e z que satisfazem a equação do plano)''. Assim:

<math>\begin{align*}
A & = (2,0,0) \\
B & = (0,-2,0) \\
C & = (0,0,-2) \\
\\
\overrightarrow{v} & = (-2,-2,0) \\
\overrightarrow{u} & = (-2,0,-2)
\end{align*}
</math>


Agora temos a equação vetorial do plano:

<math>
\pi: \text{X} = (2,0,0) + t(-2,-2,0) + p(-2,0,-2)
</math>


Passando para a forma paramétrica:

<math>\begin{align*}
x & = 2  -  2t  - 2p \\
y & =  -2t \\
z & =  -2p
\end{align*}
</math>

Calculando a intersecção com a reta ''r'' encontramos <math>\lambda = -1</math>, <math>p = \frac{1}{2}</math> e <math>t = 0</math>. Aplicando os parâmetros na equação vetorial da reta ou do plano encontramos a intersecção em <math>P = (1,0,-1)</math> e, portanto, a reta é transversal ao plano.

<hr>

* <math>r: \frac{x - 1}{2} = y = z</math> e <math>\pi: X = (3,0,1) + \lambda (1,0,1) + \mu (2,2,0)</math>


Transformando ''r'' na forma vetorial:

<math>
r: \text{X} = (1,0,0) + \lambda (2,1,1)
</math>

Calculando o determinante da matriz formada pelos vetores diretores de ''r'' e de <math>\pi</math> o resultado é que os vetores são LD, portanto, ou a reta é paralela ao plano ou contida no plano. Para saber se a reta pertence ao plano ou não precisamos verificar se o ponto origem da reta pertence ao plano.


Aplicando o ponto origem de ''r'' em <math>\pi</math> obtemos o sistema linear:

<math>
\begin{cases}
1 = 3 + \lambda + 2\mu \\ 
0 = 2 \mu \\
0 = 1 + \lambda
\end{cases}
</math>

O sistema não tem solução, portanto, o ponto não pertence ao plano e a reta é paralela ao plano.

<hr>

* <math>r: \begin{cases} x & - & y & + & z & & & = & 0 \\ 2x & + & y & - & z & - & 1 & = & 0 \end{cases}</math> e <math>\pi: X = \left(0,\frac{1}{2},0\right) + \lambda \left(1,-\frac{1}{2},0\right) + \mu (0,1,1)</math>


Transformando ''r'' na forma vetorial ''(z é variável livre)'':

<math>
r: \text{X} = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3},0 \right) + z(0,1,1)
</math>

É imediato ver que os vetores diretores do plano e da reta são LD. Aplicando o ponto origem da reta na equação do plano calculamos que o ponto pertence ao plano, portanto, a reta esta contida no plano.

<hr>

* <math>r: \begin{cases} x & - & y & = & 1 \\ x & - & 2y & = & 0 \end{cases}</math> e <math>\pi: x + y = 2</math>

Em todas as equações falta a coordenada z. Ela deve ser lida como "0z", o que significa que todos os pontos pertencentes ao planos dados tem a coordenada z livre e podemos atribuir a ela qualquer valor. Uma maneira geométrica de visualizar a falta da coordenada z imaginar os planos como folhas de papel, numa visão lateral os planos se reduzem a retas.

Resolvendo o sistema de equações da reta ''r'' chegamos a <math>(2,1)</math>. O que significa que todos os pontos da reta ''r'' tem a forma <math>(2,1,z)</math> e qualquer vetor <math>\overrightarrow{v} = (0,0,z)</math> serve como vetor diretor.

Para <math>\pi</math> escolhemos três pontos aleatoriamente, por exemplo <math>\text{A} = (2,0,0)</math>, <math>\text{B} = (0,2,0)</math> e <math>\text{C} = (2,0,3)</math>. Formamos então os vetores <math>\overrightarrow{\text{AC}} = (0,0,3)</math> e <math>\overrightarrow{\text{BC}} = (2,-2,3)</math>.

Como os vetores diretores da reta e do plano são LD e nenhum ponto do plano é da forma <math>(2,1,z)</math> não há intersecção e o plano e a reta são paralelos.