View source for Derivadas das funções trigonométricas

As derivadas das funções trigonométricas são todas relacionadas à identidades trigonométricas. Vamos traçar o seno, cosseno e a tangente num mesmo espaço:

<div style="text-align:center;">
[[file:derivative_trigonometric_pt.png|400px]]
</div>

Tanto o seno quanto a tangente trocam o sinal das suas respectivas taxas de variação quando a função é zero. O ponto onde o seno é máximo é o ponto onde o cosseno é zero. O contrário também é verdade, onde o cosseno é máximo é onde o seno é zero. O ponto onde o cosseno e o seno se cruzam corresponde ao ângulo <math>\pi / 4</math> no ciclo trigonométrico. O ponto onde a tangente e o cosseno se cruzam corresponde ao ângulo <math>3 \pi / 4</math>.

Seno e cosseno são funções idênticas com a exceção das suas raízes que diferem por um ângulo de <math>\pi / 2</math>. Temos que <math>\sen(x + \pi / 2) = \cos(x)</math> e <math>cos(x - \pi / 2) = \sen(x)</math>. O fato de ambas as funções poderem ser uma sobreposta à outra é o que precisamos para provar que o cosseno é a derivada do seno.

<math>\lim_{h \ \to \ 0} \sen(x) = \frac{\sen(x + h) - \sen(x)}{h}</math>

Mais de uma identidade trigonométrica pode ajudar aqui. Eu vou usar a identidade que expressa a diferença de senos como um produto de senos e cossenos. A ideia é que o seno e o cosseno ''"desaparecem"'' em certos ângulos, porque acabamos multiplicando pelo zero ou por um dependendo do ângulo:

<math>= \frac{2 \sen \left(\frac{h}{2}\right) \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right)}{h}</math> ''(o limite do produto é o produto dos limites)''

<math>= 2 \lim_{h \ \to \ 0} \frac{\sen(h/2)}{h/2} \lim_{h \ \to \ 0} \cos \left(\frac{2x + h}{2}\right) \frac{1}{2}</math> ''(podemos mover a constante para fora do limite e multiplicar o limite pelo inverso da constante para manter o mesmo resultado)''

<math>= 2 \frac{1}{2} \cos(x)</math> ''(a identidade trigonométrica fundamental é igual a um)''

'''Observação:''' alguém pode ter perguntado sobre a derivada do produto não ser o produto das derivadas. O que ocorreu no começo foi que começamos sim com uma derivada, mas o seno foi reescrito como um produto de seno por cosseno. Não estávamos querendo calcular a derivada do produto. Foi apenas uma substituição.

Para a prova de <math>\cos'(x) = -\sen(x)</math> a ideia é a mesma. Começamos com um limite e temos que usar alguma identidade trigonométrica para alcançar o resultado.

Para a prova de <math>\tan'(x) = \sec^2(x)</math> podemos usar <math>\tan(x) = \frac{\sen(x)}{\cos(x)}</math> e prosseguir daí.

Todas as demonstrações não são nada além de manipulações algébricas originárias do ciclo trigonométrico.

'''Links para as demonstrações'''
* https://www.dicasdecalculo.com.br/demonstracao-da-derivada-da-funcao-seno/
* https://sabermatematica.com.br/derivada-da-funcao-seno-demonstracao.html
* https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/demonstracao-da-derivada-da-funcao-seno.html
* https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-7/a/proving-the-derivatives-of-sinx-and-cosx